Действие абонента В

Абонент В на своем рабочем компьютере вычисляет значение секретного парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования К_АВ, используя метод Диффи-Хеллмана К_АВ = [К_ЗВ]К_ОА.

В пункте 3.3.2.4 определена точка, характеризующая открытый ключ абонента «А» К_ОА = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165). Численное значение открытого ключа абонента А определяется числовым значением координаты «Х» точки К_ОА, т.е. значением абсциссы Х₂₃₆ = 231 заданной эллиптической кривой, принимается значение открытого ключа абонента А равное К_ОА = 231.

Для вычисления секретного парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования между абонентами А и В на стороне абонента В выполняются операции вычислений всех удвоений точки К_ОА=G₂₃₆ вплоть до [128]К_ОА, т.к. число 128 является максимальным по показателю 2ⁿ в составе чисел до 182 (К_ЗВ = 182 – закрытый ключ абонента «В»; К_ОА = G₂₃₆ =(231; 165) – открытый ключ абонента «А»), а затем определяется композиция детерминированных точек удвоения.

Вычисление точки [2]К_ОА, как результат удвоения точки К_ОА:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке К_ОА = =G₂₃₆ = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165)

K = mod P = mod 293 = 106 mod 293 → 106.

- вычисление координат точки [2] К_ОА = (X₂; Y₂)

X₂ = (K² – 2X₂₃₆) mod P = (106² - 2*231) mod 293 = 226 mod 293 → 226;

Y₂ = (K*(X₂₃₆ – X₂) – Y₂₃₆) mod P = (106*(231 – 226) – 165) mod 293 =

= 72 mod 293 → 72.

Следовательно, [2] К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72), координаты точки [2] К_ОА определены как X₂ = 226; Y₂ = 72.

Вычисление точки [4]К_ОА, как результат удвоения точки [2]К_ОА ([2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72)

K = mod P = mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [4] К_ОА = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (177² - 2*226) mod 293 = 112 mod 293 → 112;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (177*(226 – 112) – 72) mod 293 =

= 182 mod 293 → 182.

Следовательно, [4] К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182), координаты точки

[4] К_ОА определены как X₄ = 112; Y₄ = 182.

Вычисление точки [8]К_ОА, как результат удвоения точки [4]К_ОА ([4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182)

K = mod P = mod 293 = 200 mod 293 → 200.

- вычисление координат точки [8] К_ОА = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (200² - 2*112) mod 293 = 221 mod 293 → 221;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (200*(112 – 221) – 182) mod 293 =

= 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [8] К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286), координаты точки

[8] К_ОА определены как X₈ = 221; Y₈ = 286.

Вычисление точки [16]К_ОА, как результат удвоения точки [8]К_ОА ([8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286)

K = mod P = mod 293 = 228 mod 293 → 228.

- вычисление координат точки [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (228² - 2*221) mod 293 = 267 mod 293 → 267;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (228*(221 – 267) – 286) mod 293 =

= 67 mod 293 → 67.

Следовательно, [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67), координаты точки

[16] К_ОА определены как X₁₆ = 267; Y₁₆ = 67.

Вычисление точки [32]К_ОА, как результат удвоения точки [16]К_ОА ([16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67)

K = mod P = mod 293 =177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (177² - 2*267) mod 293 = 30 mod 293 → 30;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (177*(267 – 30) – 67) mod 293 =

= 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276), координаты точки

[32] К_ОА определены как X₃₂ = 30; Y₃₂ = 276.

Вычисление точки [64]К_ОА, как результат удвоения точки [32]К_ОА ([32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276)

K = mod P = mod 293 =41 mod 293 → 41.

- вычисление координат точки [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (41² - 2*30) mod 293 = 156 mod 293 → 156;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (41*(30 – 156) – 276) mod 293 =

= 125 mod 293 → 125.

Следовательно, [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125), координаты точки

[64] К_ОА определены как X₆₄ = 156; Y₆₄ = 125.

Вычисление точки [128]К_ОА, как результат удвоения точки [64]К_ОА ([64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125)

K = mod P = mod 293 =278 mod 293 → 278.

- вычисление координат точки [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (278² - 2*156) mod 293 = 206 mod 293 → 206;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (278*(156 – 206) – 125) mod 293 =

= 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39), координаты точки [128] К_ОА определены как X₁₂₈ = 206; Y₁₂₈ = 39.

Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой: [2]К_ОА; [4] К_ОА; [16] К_ОА; [32] К_ОА; [128]К_ОА).

Для вычисления парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования по методу Диффи-Хеллмана в метрике заданной эллиптической кривой со стороны абонента «В» необходимо вычислить композицию пяти точек: [2]К_ОА; [4] К_ОА; [16] К_ОА; [32] К_ОА; [128]К_ОА).

Это подмножество точек определяется тем, что числовое значение закрытого ключа абонента «В» К_ЗВ = 182 получается в результате суммирования элементов перечисленного подмножества 182 = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [128]K_OA и [32]K_OA, т.е. вычисление точки [160]К_ОА= =[128]K_OA+[32]K_OA.

[128]K_OA = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39); [32]K_OA= (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276).

- Вычисление углового коэффициента касательной в точке [160]К_ОА= [128]K_OA+[32]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 280 mod 293 → 280.

- Вычисляются координаты точки [160]K_OA = (X₁₆₀; Y₁₆₀):

X₁₆₀ = (K² – X₁₂₈ – X₃₂) mod P = (280² – 206 – 30) mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₁₆₀ = (K*(X₁₂₈ – X₁₆₀) – Y₁₂₈) mod P = (280* (206 – 226) – 39) mod 293 =

= 221 mod 293 → 221.

Следовательно, [160]К_ОА = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (226; 221), координаты точки [160]К_ОА определены как X₁₆₀ = 226; Y₁₆₀ = 221.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [160]K_OA и [16]K_OA, т.е. вычисление точки [176]К_ОА= =[160]K_OA+[16]K_OA.

[160]K_OA = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (226; 221); [16]K_OA= (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [160]K_OA и 16]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 82 mod 293 → 82.

- Вычисляются координаты точки [176]K_OA = (X₁₇₆; Y₁₇₆):

X₁₇₆ = (K² – X₁₆₀ – X₁₆) mod P = (82² – 226 – 267) mod 293 = 78 mod 293 → 78.

Y₁₇₆ = (K*(X₁₆₀ – X₁₇₆) – Y₁₆₀) mod P = (82* (226 – 78) – 221) mod 293 =

= 195 mod 293 → 195.

Следовательно, [176]К_ОА = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (78; 195), координаты точки [176]К_ОА определены как X₁₇₆ = 78; Y₁₇₆ = 195.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [176]K_OA и [4]K_OA, т.е. вычисление точки [180]К_ОА= =[176]K_OA+[4]K_OA.

[176]K_OA = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (78; 195); [4]K_OA= (X₄; Y₄) = (112; 182).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [176]K_OA и [4]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 284 mod 293 → 284.

- Вычисляются координаты точки [180]K_OA = (X₁₈₀; Y₁₈₀):

X₁₈₀ = (K² – X₁₇₆ – X₄) mod P = (284² – 78 – 112) mod 293 = 184 mod 293 → 184.

Y₁₈₀ = (K*(X₁₇₆ – X₁₈₀) – Y₁₇₆) mod P = (284* (78 – 184) – 195) mod 293 =

= 173 mod 293 → 173.

Следовательно, [180]К_ОА = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (184; 173), координаты точки [180]К_ОА определены как X₁₈₀ = 184; Y₁₈₀ = 173.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [180]K_OA и [2]K_OA, т.е. вычисление точки [182]К_ОА =[180]K_OA+[2]K_OA.

[180]K_OA = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (184; 173); [2]K_OA= (X₂; Y₂) = (226; 72).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [180]K_OA и [2]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 172 mod 293 → 172.

- Вычисляются координаты точки [182]K_OA = (X₁₈₂; Y₁₈₂):

X₁₈₂ = (K² – X₁₈₀ – X₂) mod P = (172² – 184 – 226) mod 293 = 167 mod 293 → 167.

Y₁₈₂ = (K*(X₁₈₀ – X₁₈₂) – Y₁₈₀) mod P = (172* (184 – 167) – 173) mod 293 =

= 114 mod 293 → 114.

Следовательно, [182]К_ОА = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (167; 114), координаты точки [182]К_ОА определены как X₁₈₂ = 167; Y₁₈₂ = 114.

Таким образом, вычислен парный секретный симметричный ключ на стороне абонента «В» - К_ВА= [K_ЗВ]К_ОА = [182] (231; 165) = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = = (167; 114).

Секретный парный симметричный ключ, сформированный на стороне абонента А, в числовом выражении определяется как абсцисса точки [K_ЗВ]К_ОА = [182] (231; 165) = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (167; 114), т.е. К_ВА = 167.

4.4.2. Шифрование текста со стороны абонента «В» для абонента «А» с помощью сформированного парного секретного симметричного ключа шифрования по методу Диффи-Хеллмана в метрике эллиптических кривых - К_ВА = 167.

Каждый семантический элемент (буква или цифра, графики, рисунки и т.д.) с помощью таблиц принятой кодировки переводятся в цифровую форму, например в соответствии с таблицей Windows-кодировки. После такого отображения каждый элемент шифруется по вычисленному парному симметричному секретному ключу К_ВА = 167, в соответствии со следующим аналитическим преобразованием:

C_i = m_i * К_ВА mod P

Где: К_ВА -парный симметричный секретный ключ;

m_i – семантический элемент открытого теста, подлежащего криптографированию;

C_i – криптограмма элемента семантический элемент открытого теста m_i;

Для примера рассмотрим формирование криптограммы слова «Криптон»:

m₁ → К → 11101010 → 202 → C₁ = 202* 167 mod 293 = 39 → '

m₂ → Р → 11010000 → 208 → C₂ = 208 * 167 mod 293 = 162 → ў

m₃ → И → 11001000 → 200 → C₃ = 200 * 167 mod 293 = 291 → #

m₄ → П → 11001111 → 207 → C₄ = 207 * 167 mod 293 = 288 →

m₅ → Т → 11010010 → 210 → C₅ = 210 * 167 mod 293 = 203 → Л

m₆ → О → 11001110 → 206 → C₆ = 206 * 167 mod 293 = 121 → y

m₇ → Н → 11001101 → 205 → C₇ = 205 * 167 mod 293 = 247 → ч

Сформирована криптограмма слова:

«КРИПТОН» → С = { C₁C₂C₃C₄C₅C₆C₇}→{'ў# Лyч}, которая передается по открытым каналам теледоступа абоненту «А».

Дешифрование абонентом А криптограммы, полученной от абонента В с использованием парного секретного симметричного ключа, сформированного по методу Диффи-Хеллмана в метрике эллиптических кривых.

Со стороны абонента А вычисление парного ключа определяется как:

К_АВ = [К_ЗА]К_ОВ mod P

где:

К_АВ – парный секретный симметричный ключ шифрования-дешифрования, формируемый на стороне абонента «А»;

К_ЗА – закрытый (секретный) ключ абонента «А» асимметричной криптосистемы; в рассматриваемом примере К_ЗА= 236;

К_ОВ – открытый ключ абонента «В» асимметричной криптосистемы; в рассматриваемом примере К_ОВ= (X_ОВ; Y_ОВ) = (283; 119).

Следовательно, в рассматриваемом примере:

К_АВ = [К_ЗА]К_ОВ mod P= [236] К_ОВ mod P = [236] (X_ОВ; Y_ОВ) =[236] (283; 119)

Для определения парного секретного симметричного ключа шифрования-дешифрования на стороне абонента «А» операция такого вычисления определяется следующим образом:

- изначально вычисляются операции удвоения точки К_ОВ и всех последующих вычисляемых точек вплоть до [128] К_ОВ (для рассматриваемого примера) поскольку число 128 является максимальным степенного значения 2ⁿ в составе К_ЗА = 236.

- затем вычисляется композиция всего полученного детерминированного множества.

Вычисление удвоений множества точек заданной эллиптической кривой на стороне абонента «А» по значению точки К_ОВ, характеризующей открытый ключ абонента «В».

Вычисление значения удвоения точки К_ОВ – [2]К_ОВ:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке

К_ОВ (X₁; Y₁) = К_ОВ(283; 119)

K = mod P = mod 293 = 53mod 293 → 53.

- вычисление координат точки [2] К_ОВ = (X₂; Y₂)

X₂ = (K² – 2X₁) mod P = (53² - 2*283) mod 293 = 192 mod 293 → 192;

Y₂ = (K*(X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (53*(283 – 192) – 119) mod 293 =

= 16 mod 293 → 16.

Следовательно, [2] К_ОВ = (X₂; Y₂) = (192; 16), координаты точки [2] К_ОВ определены как X₂ = 192; Y₂ = 16.

Вычисление точки [4]К_ОВ, как результат удвоения точки [2]К_ОВ ([2]К_ОВ = (X₂; Y₂) = (192; 16)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОВ = (X₂; Y₂) = (192; 16)

K = mod P = mod 293 = 160 mod 293 → 160.

- вычисление координат точки [4] К_ОВ = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (160² - 2*192) mod 293 = 18 mod 293 → 18;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (160*(192 – 18) – 16) mod 293 =

= 282 mod 293 → 282.

Следовательно, [4] К_ОВ = (X₄; Y₄) = (18; 282), координаты точки

[4] К_ОВ определены как X₄ = 18; Y₄ = 282.

Вычисление точки [8]К_ОВ, как результат удвоения точки [4]К_ОВ ([4]К_ОВ = (X₄; Y₄) = (18; 282)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОВ = (X₄; Y₄) = (18; 282)

K = mod P = mod 293 = 62 mod 293 → 62.

- вычисление координат точки [8] К_ОВ = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (62² - 2*18) mod 293 = 292 mod 293 → 292;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (62*(18 – 292) – 282) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [8] К_ОВ = (X₈; Y₈) = (292; 17), координаты точки

[8] К_ОВ определены как X₈ = 292; Y₈ = 17.

Вычисление точки [16]К_ОВ, как результат удвоения точки [8]К_ОВ ([8]К_ОВ = (X₈; Y₈) = (292; 17)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОВ = (X₈; Y₈) = (292; 17)

K = mod P = mod 293 = 233 mod 293 → 233.

- вычисление координат точки [16] К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (233² - 2*292) mod 293 = 86 mod 293 → 86;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (233*(292 – 86) – 17) mod 293 =

= 222 mod 293 → 222.

Следовательно, [16] К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆) = (86; 17), координаты точки

[16] К_ОВ определены как X₁₆ = 86; Y₁₆ = 222.

Вычисление точки [32]К_ОВ, как результат удвоения точки [16]К_ОВ ([16]К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆) = (86; 222)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆) = (86; 222)

K = mod P = mod 293 = 277 mod 293 → 277.

- вычисление координат точки [32] К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (277² - 2*86) mod 293 = 84 mod 293 → 84;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (277*(86 – 84) – 222) mod 293 =

= 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [32] К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39), координаты точки

[32] К_ОВ определены как X₃₂ = 84; Y₃₂ = 39.

Вычисление точки [64]К_ОВ, как результат удвоения точки [32]К_ОВ ([32]К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39)

K = mod P = mod 293 = 279 mod 293 → 279.

- вычисление координат точки [64] К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (279² - 2*84) mod 293 = 28 mod 293 → 28;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (279*(84 – 28) – 39) mod 293 =

= 56 mod 293 → 56.

Следовательно, [64] К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56), координаты точки

[64] К_ОВ определены как X₆₄ = 28; Y₆₄ = 56.

Вычисление точки [128]К_ОВ, как результат удвоения точки [64]К_ОВ ([64]К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56)

K = mod P = mod 293 = 42 mod 293 → 42.

- вычисление координат точки [128] К_ОВ = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (42² - 2*28) mod 293 = 243 mod 293 → 243;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (42*(28 – 243) – 56) mod 293 =

= 290 mod 293 → 290.

Следовательно, [128] К_ОВ = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (243; 290), координаты точки [128] К_ОВ определены как X₁₂₈ = 243; Y₁₂₈ = 290.

Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой: [4]К_ОВ; [8]К_ОВ; [32]К_ОВ; [64]К_ОА; [128]К_ОВ).

Для вычисления парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования по методу Диффи-Хеллмана в метрике заданной эллиптической кривой со стороны абонента «А» необходимо вычислить композицию пяти точек: [4]К_ОВ; [8] К_ОВ; [32] К_ОВ; [64] К_ОВ; [128]К_ОВ).

Это подмножество точек заданной эллиптической кривой определяется числовым значением закрытого ключа абонента «А» (К_ЗА = 236). Число 236 образовано суммой чисел, значения которых образованы по степенным значениям 2ⁿ, 236 = 4 + 8 + 32 + 64 + 128.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [128]K_OВ и [64]K_OВ, т.е. вычисление точки [192]К_ОВ= =[128]K_OВ+[64]K_OВ.

[128]K_OВ = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (243; 290); [64]K_OВ= (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [128]K_OВ и [64]K_OВ заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 290 mod 293 → 290.

- Вычисляются координаты точки [192]K_OA = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (K² – X₁₂₈ – X₆₄) mod P = (290² – 243 – 28) mod 293 = 31 mod 293 → 31.

Y₁₉₂ = (K*(X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (290* (243 – 31) – 290) mod 293 =

= 246 mod 293 → 246.

Следовательно, [192]К_ОВ = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (31; 246), координаты точки [192]К_ОА определены как X₁₉₂ = 31; Y₁₉₂ = 246.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [192]K_OВ и [32]K_OВ, т.е. вычисление точки [224]К_ОВ= =[192]K_OВ+[32]K_OВ.

[192]K_OВ = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (31; 246); [32]K_OВ= (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [192]K_OВ и [32]K_OВ заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 173 mod 293 → 173.

- Вычисляются координаты точки [224]K_OВ = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (K² – X₁₉₂ – X₃₂) mod P = (173² – 31 – 84) mod 293 = 221 mod 293 → 221.

Y₂₂₄ = (K*(X₁₉₂ – X₂₂₄) – Y₁₉₂) mod P = (173* (31 – 221) – 246) mod 293 =

= 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [224]К_ОВ = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (221; 286), координаты точки [224]К_ОА определены как X₂₂₄ = 221; Y₂₂₄ = 286.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [224]K_OВ и [8]K_OВ, т.е. вычисление точки [232]К_ОВ= =[224]K_OВ+[8]K_OВ.

[224]K_OВ = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (221; 286); [8]K_OВ= (X₈; Y₈) = (292; 17).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [224]K_OВ и [8]K_OВ заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 87 mod 293 → 87.

- Вычисляются координаты точки [232]K_OВ = (X₂₃₂; Y₂₃₂):

X₂₃₂ = (K² – X₂₂₄ – X₈) mod P = (87² – 221 – 292) mod 293 = 24 mod 293 → 24.

Y₂₃₂ = (K*(X₂₂₄ – X₂₃₂) – Y₂₂₄) mod P = (87* (221 – 24) – 286) mod 293 =

= 152 mod 293 → 152.

Следовательно, [232]К_ОВ = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (24; 152), координаты точки [232]К_ОА определены как X₂₃₂ = 24; Y₂₃₂ = 152.

Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [232]K_OВ и [4]K_OВ, т.е. вычисление точки [236]К_ОВ= =[232]K_OВ+[4]K_OВ.

[232]K_OВ = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (24; 152); [4]K_OВ= (X₄; Y₄) = (18; 282).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [232]K_OВ и [4]K_{OВ В} заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 76 mod 293 → 76.

- Вычисляются координаты точки [236]K_OВ = (X₂₃₆; Y₂₃₆):

X₂₃₆ = (K² – X₂₃₂ – X₄) mod P = (76² – 24 – 18) mod 293 = 167 mod 293 → 167.

Y₂₃₆ = (K*(X₂₃₂ – X₂₃₆) – Y₂₃₂) mod P = (76* (24 – 167) – 152) mod 293 =

= 114 mod 293 → 114.

Следовательно, [236]К_ОВ = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (167; 114), координаты точки [236]К_ОА определены как X₂₃₆ = 167; Y₂₃₆ = 114.

В результате выполнения операций удвоения и композиции детерминированного множества точек заданной эллиптической кривой и использования метода Диффи-Хеллмана со стороны абонента «А» вычислен парный, симметричный, секретный ключ шифрования-дешифрования:

К_АВ = [К_ЗА]К_ОВ mod P = [236]K_OB = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (167; 114).

В качестве числового значения парного, симметричного, секретного ключа шифрования-дешифрования определяется значение абсциссы точки К_АВ заданной эллиптической кривой, значение X₂₃₆ = 167. Следовательно, для всех последующих расчетов используется значение ключа К_АВ = 167, т.е. на стороне абонента «А» вычислен парный, симметричный, секретный ключ по значению своего закрытого ключа асимметричной криптосистемы - К_ЗА и открытого ключа асимметричной криптосистемы абонента «В» - К_ОВ, полученного от абонента «В» в открытом виде по открытым канала сетевой телекоммуникационной системы.

Сравнивая результаты вычислений пунктов 5.2.3 и 6.2.4 подтверждается достоверность выполненных операций по определению парного, симметричного, секретного ключа шифрования-дешифрования конфиденциальных сообщений при их обмене между абонентами «А» и «В» по открытым телекоммуникационным каналам в компьютерных технологиях:

К_ВА = К_АВ = 167.

Значение этого открытого ключа было использовано абонентом «В» при шифровании сообщения для абонента «А» (в рассматриваемом примере шифрование сообщения «КРИПТОН» → {'ў# Лyч}). Криптограмма С сформированная на стороне абонента «В» была передана абоненту «А».

Поиск по сайту: