Градиент, дивергенция, ротор

ДИВЕРГЕНЦИЯ векторного поля A(r) ¾ скалярное поле div A (r):

В декартовой система координат: div A =(дA_x/дx)+ (дA_y/дy)+ (дA_z/дz);

A =A_x i +A_y j +A_z k => div A (Ñ, A)

РОТОРОМ векторного поля A называется векторное поле rot A;

| i j k |

rot A =|д/дx д/дy д/дz|

| A_x A_y A_z |

rot A =[Ñ, A ];

Из свойств скалярного и векторного произведения векторов => divA ротора = 0, rot градиента = 0, т.е.: (Ñ,[Ñ A ])=0, [Ñ,Ñj]=0

(Ñ,Ñ)=Ѳ=D¾ лапласиан

Dj=(д²j/дx²)+ (д²j/дy²)+ (д²j/дz²)

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

Полярные координаты (на плоскости)

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.

Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

, где

Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности.

Для поля в веществе электростатическая теорема Гаусса может быть записана иначе — через поток вектора электрического смещения (электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

B природе не существует «магнитных зарядов», которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является вихревым.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна . Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием Δ S, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии E ' = E '' = E. Поток вектора напряжённости равен 2 E Δ S.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной нитью. Определим напряжённость, создаваемую этим полем на расстоянии R от нити. Возьмём цилиндр с осью, совпадающей с нитью, радиусом R и высотой Δ l. Тогда поток напряжённости через эту поверхность рассчитывается следующим образом: ;

Поиск по сайту: