Електропровідність металів

У класичній теорії Друде-Лоренца вважалося, що електрон, який розганяється зовнішнім полем, періодично непружно зіштовхується з іонами решітки, віддає їм усю кінетичну енергію і зупиняється. Далі процес розгону відновлюється до наступного зіткнення. Вважається, що відстань, яку проходить електрон між зіткненнями, дорівнює періоду решітки.

Вдалося вивести закон Ома в диференціальній формі:

,

де j – густина струму; Е – напруженість зовнішнього поля; –концентрація електронів; – заряд електрона; m – маса електрона; – час вільного пробігу; – питома провідність.

Таким чином, дуже проста і наочна модель дала змогу пояснити пропорційність густини струму j до напруженості зовнішнього поля Е, що є змістом закону Ома в диференціальній формі. Закон підтвер­джується дослідами.

Час вільного пробігу можна визначити через середню швидкість і довжину вільного пробігу , яка дорівнює періоду решітки d:

.

Тоді формула для питомої провідності набуває вигляду:

,

а питомий електричний опір:

.

Перш ніж іти далі, тобто починати враховувати квантовий характер явища електропровідності, проаналізуємо уважно класичну формулу для питомої провідності.

Для порівняння з експериментом потрібно знати середню дрейфову швидкість u електрона. Її можна оцінити, скориставшись формулою для густини струму:

.

Звичайно густина струму в провіднику становить кілька ампер на квадратний сантиметр. Тоді швидкість буде дорівнювати:

,

а питомий опір дорівнюватиме . Жодний провідник не має такого надзвичайно малого питомого електричного опору. Навіть у такого гарного провідника, як мідь, .

Класична теорія електропровідності не дає змоги дістати правильне числове значення .

Це перший істотний недолік класичної теорії. Можна, звичайно, спробувати врятувати обличчя класичної теорії, припустивши, що кількість електронів провідності менша за приблизно в тисячу разів. Тоді:

.

Приблизно такий питомий опір мають типові провідники, як срібло або мідь. Проте таке «обмеження прав» інших вільних електронів ніяк не можна аргументувати в межах класичної теорії ідеального електронного газу. Отже, якщо замість класичного розподілу застосувати квантовий розподіл Фермі-Дірака, то може йтися про те, що сприймати енергію зовнішнього поля можуть тільки електрони, розміщені «на хвості» розподілу, причому їх значно менше, ніж усіх вільних електронів. Але це вже квантовий підхід!

Другий не менш серйозний недолік класичної теорії – це її нездатність пояснити температурну залежність питомого опору від температури.

На рис. 4.14 наведено цю залежність для дуже чистих металів. При температурах, вищих за температуру Дебая, питомий опір лінійно зростає з підвищенням температури. Коли температура прямує до нуля, питомий опір також прямує до нуля. Обох явищ класична теорія пояснити не в змозі, оскільки єдина величина у формулі для провідності, що може змінюватися – це швидкість. Але в межах класичної теорії вона не може змінюватися так, як нам потрібно.

Класична теорія електропровідності не може правильно пояснити температурну залежність питомого опору від температури.

Доведеться все ж таки згадати не тільки статистику Фермі-Дірака, а й інші фундаментальні положення, що визначають поводження електронів як квантових частинок.

Згадаймо, що квантову частинку можна розглядати як хвилю де Бройля. Довжина хвилі де Бройля l пов'язана з імпульсом р:

,

а будь-яка хвиля має розсіюватися і дифрагувати на такій упорядкованій структурі, як кристалічна решітка. Досліди з дифракції електронів на кристалічній решітці описувалися в розділі з квантової фізики. Однак дифракція відбувається лише за такої умови:

довжина хвилі має бути сумірна з періодом кристалічної решітки.

У розглядуваному випадку довжина хвилі де Бройля для електрона провідності дорівнює:

,

а період решітки d , тобто .

Отже, ні про яку дифракцію таких дуже довгих хвиль на кристалі не може бути й мови. Дістали, можливо, несподіваний, але неминучий висновок:

кристал прозорий для електронних хвиль.

До речі, кристал прозорий і для електромагнітних хвиль оптичного діапазону, оскільки довжини хвиль тут приблизно 10 м, а це теж набагато більше, ніж період решітки. На кристалі можлива дифракція електромагнітних хвиль рентгенівського діапазону або дуже швидких електронів. Тоді який же механізм розсіювання електронних хвиль?

І тут може допомогти аналогія з розсіюванням світлових хвиль. Як відомо, світло розсіюється в каламутних середовищах або в кристалах, що містять домішки у вигляді чужих атомів, а також будь-які дефекти, точніше неоднорідності. Електронні хвилі також мають розсіюватися на неоднорідностях. При температурі, відмінній від абсолютного нуля, такі неоднорідності виникають через флуктуацію густини в мікрооб'ємах за рахунок ангармонічних теплових коливань іонів кристалічної решітки. Неоднорідностями є також домішки і дефекти.

Отже, у чистих бездефектних кристалах відбувається розсіювання електронних хвиль на теплових коливаннях решітки. У свою чергу, теплові коливання можна представити у вигляді стоячих пружних хвиль, а їх – у вигляді квазічастинок фононів.

Електричний опір металів зумовлений розсіюванням електронів на фононах.

Квантова теорія електропровідності використовує як квантові розподіли, так і викладені раніше уявлення про механізм розсіювання електронів. Наведемо одну з формул для питомого електричного опору (формулу Зоммерфельда):

.

На перший погляд, формула збігається з класичною, але зміст деяких величин, що входять до неї, зовсім інший: – швидкість електрона, енергія якого дорівнює енергії Фермі; – середня довжина пробігу такого електрона. Її можна обчислити за формулою:

,

де Е – модуль пружності; d – період кристалічної решітки; – кількість атомів в одиниці об'єму; k – стала Больцмана; Т – абсолютна температура.

Квантова формула не тільки правильно визначає питомий електричний опір чистих металів, а й легко пояснює температурну залежність.

Справді, якщо довжина хвилі оберненопропорційна до абсолютної температури Т, то питомий електричний опір р буде прямопропорційний до темпе­ратури і прямуватиме до нуля, якщо .

На рис. 4.15 наведено експе­риментальну залежність питомого електричного опору твердого нат­рію від температури, що чудово ілюструє міць квантової теорії.

Проте, якщо придивимося уважніше, то побачимо, що експериментальна крива не прямує до нуля, тобто при температурі абсолютного нуля опір не дорівнює нулю. Виникає деякий залишковий опір. Причина появи залишкового опору вже зазначалася: це розсіювання електронних хвиль на домішках і дефектах. Це розсіювання не залежить від температури, тому зі зменшенням температури його внесок стає визначальним. Можна припустити, що повний питомий опір дорівнює сумі опорів:

,

де – питомий електричний опір, зумовлений тепловими коливаннями решітки; – питомий електричний опір, зумовлений домішками і дефектами. Розрахувати його не вдається.

Поиск по сайту: