Теплоємність

Нагадаємо, що класична теорія доволі успішно розв’язала задачу про розрахунок теплоємності кристалів при кімнатних температурах.

Частинки в кристалі здійснюють тільки коливальний рух. Отже, повна кількість ступенів вільності є . На кожний ступінь вільності припадає внутрішня енергія . Повна внутрішня енергія одного кіломоля:

,

а молярна теплоємність кристала при сталому об’ємі дорівнює:

.

Цей результат чудово збігається з експериментальним законом Дюлонга і Пті, відповідно до якого теплоємність усіх твердих тіл, зокрема й металів, при кімнатній температурі близька до 3R.

Однак у металах існують і вільні електрони. Тому варто було б додати ще три поступальні ступені вільності. А тоді теплоємність була б ще в півтора рази більшою. Класична теорія не могла подолати ці труднощі. А квантова зробила це легко! Досить згадати, що сприймати енергію можуть не більш як 3 % електронів. Тому й непотрібно було враховувати внесок електронів у теплоємність.

Більш істотні труднощі класичної теорії полягали в тому, що вона ніяк не могла пояснити досить складну експериментальну залеж­ність теплоємності від температури (рис. 4.12). При теплоємність також прямує до нуля.

З підвищенням температури теплоємність спочатку зростає пропорційно до куба температури, далі зростання сповільнюється і лише потім теплоємність прямує до значення, яке дорівнює 3R.

Було кілька спроб створити квантову теорію теплоємності крис­талів. Цю проблему досліджували Ейнштейн, Дебай, Бор та інші.

Основна ідея квантової теорії теплоємності кристалів доволі проста. Атоми в кристалі здійснюють коливання, тому енергія таких осциляторів має бути квантована. Енергія квантового осцилятора може набувати лише значень, пропорційних до частоти коливань:

.

Але перш ніж виконувати подальші обчислення, потрібно в якийсь спосіб визначити або задати частотний спектр коливань. Можна припустити, як це зробив Ейнштейн, що взагалі всі осцилятори мають однакову частоту і виконують незалежні коливання. Зауважимо, що навіть таке просте припущення дало змогу зрозуміти залежність теплоємності від температури. Але швидше за все коливання мають бути зв’язаними, оскільки між частинками існують великі сили взаємодії. Тоді цілком логічним виглядає припущення Дебая про те, що частоти осциляторів у кристалі можуть змінюватися від нуля до деякого максимального значення . При цьому максимальну частоту можна дістати з умови рівності енергії осцилятора середній тепловій енергії:

.

Залишилося тепер дізнатися, скільки осциляторів мають ті чи інші частоти. Для цього довелося б сформулювати і розв’язати задачу з використанням квантових багаточасткових рівнянь, але ця справа безнадійна. Пішли іншим шляхом.

Якщо в кристалі відбуваються зв’язані коливання, то в ньому мають поширюватися пружні хвилі. Оскільки кристал обмежений у просторі, то право на існування мають тільки стоячі хвилі, вузли яких містяться на поверхні кристала. Маючи уявлення про корпускулярно-хвильовий дуалізм, ми вже звикли до думки, що кожна частинка може іноді поводитися як хвиля, а будь-яка хвиля має змогу виявити себе як частинка.

Якщо електромагнітну хвилю можна було уявити, як потік фотонів, або фотонний газ, то пружну хвилю можна розглядати як потік фононів, або фононний газ.

Енергія фонона:

;

імпульс фонона:

.

Спін фононів виявився таким, що дорівнює нулю. Отже, фонони підпорядковані статистиці Бозе-Ейнштейна. Фонони можуть випускатися і поглинатися, але кількість їх не стала, тому хімічний потенціал для фононного газу дорівнює нулю.

У такому разі функція розподілу набирає вигляду:

.

Тепер залишається обчислити внутрішню енергію кристала як енергію фононного газу і, нарешті, теплоємність. Остаточна формула Дебая для теплоємності кристала така:

,

де С – теплоємність кристала; R – універсальна газова стала; – функція Дебая; Т – абсолютна температура; – характеристична температура Дебая.

При температурі Дебая в кристалі збуджуються всі можливі частоти, і вона визначається з умови:

, звідки .

Якщо температура кристала набагато більша за температуру Дебая, то можна не враховувати квантові ефекти. При , при , при температурах поблизу нуля .

Таким чином, отримано універсальну залежність теплоємності кристалів від відносної температури .

Цю залежність зображено на рис. 4.13. Різними точками нанесе­но експериментальні дані для міді, алюмінію і срібла.

Наслідки:

• теорія теплоємності справд­жується для будь-яких кристалів, а не тільки для діелектриків, тому що електронна складова теплоємності для металів невелика;

• існують речовини, теплоєм­ність яких не описується формулою Дебая. Як правило, це речовини зі складними кристалами.

Зауваження. Сама ідея фононів виявилася надзвичайно плідною. За її допомогою не тільки вдалося дістати чудову формулу для теплоємності кристалів, а й описати теплопровідність кристалів як теплопровідність фононного газу. З’ясувалося, що фонони можуть взаємодіяти з іншими частинками і з дефектами кристалічних решіток.

Механізм електричного опору провідників вдалося зрозуміти як процес розсіювання електронів провідності на фононах.

Поиск по сайту: