МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ФИЗИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

На опыте (например, в лабораторном физическом практикуме) часто измеряют пары физических величин x и y, причем одна из них (y) является функцией другой (х)

. (1)

Если аналитическое выражение функции (1) неизвестно, то возникает практически важная задача: найти эмпирическую формулу (функцию)

, (2)

значения которой при х = х_i как можно мало отличались бы от опытных данных y_i. Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой вида (2), возможно ближе примыкающей к экспериментальным значениям.

Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение наилучших ее параметров. Первый этап зависит от искусства и опыта исследователя. Второй решается регулярными методами.

Пусть для переменных x и y известны их значения х_i и y_i , расположенные в порядке возрастания первой переменной. Можно построить на координатной плоскости систему точек . Если окажется, что эти точки располагаются примерно на некоторой прямой линии, то естественно предположить, что зависимость между переменными x и y линейная:

, (3)

где m и c некоторые константы (параметры линейной зависимости). Задача состоит в том, чтобы найти параметры m и c, при которых прямая (3) была бы расположена как можно ближе к экспериментальным точкам.

Линейная зависимость между физическими величинами часто встречается в физике (например, закон Ома и др.). В ряде случаев к линейной зависимости могут быть приведены экспериментальные результаты, даже когда их график не является прямой линией. Это может быть достигнуто путем введения новых переменных ξ и η:

. (4)

Функции и выбираются такими, чтобы точки лежали на некоторой прямой линии в плоскости . Такое преобразование называется выравниванием данных.

Для получения линейной зависимости с помощью преобразования (4) исходная формула должна быть записана в виде:

. (5)

Рассмотрим методы нахождения параметров линии, наилучшим образом проходящей через набор экспериментальных точек.

Наиболее часто применяемым является метод наименьших квадратов.

Допустим, что имеется n пар измеренных значений:

, (6)

и точки, соответствующие значениям (6), располагаются примерно на некоторой прямой линии. Тогда можно предположить, что зависимость между переменными х и у линейная, то есть вида (3).

Отклонение результатов i -ro измерения от прямой (3) равно , где . Наилучшее значение параметра m в (3) выбирается так, чтобы сумма квадратов отклонений

(7)

была минимальной. Отсюда происходит название метода.

Рассматривая величину S как функцию переменных m и c и записывая условие минимума этой функции, можно получить:

, (8)

, (9)

где

, (10)

. (11)

Соотношение (8) показывает, что прямая линия, наилучшим образом проходящая через набор экспериментальных точек, проходит через точку с координатами , т.е. через центр, тяжести всех экспериментальных точек.

Значения (9) и (8) являются фактически средними значениями параметров m и с, полученными в серии из n измерений. Среднеквадратичные отклонения этих величин от средних значений (9) и (8) даются следующими приближенными формулами:

(12)

, (13)

где

. (14)

Метод парных точек является более простым, чем метод наименьших квадратов, и применяется, когда требуется определить только наклон прямой, т.е. параметр m. Особенно этот метод хорош в том случае, когда экспериментальные значения x эквидистантны.

Допустим, у нас имеется 10 экспериментальных точек, лежащих приблизительно на одной прямой. Пронумеруем точки по порядку от 1 до 10. Возьмем точки 1 и 6, через них проходит некоторая прямая с параметром m₁. Для следующей пары точек 2 и 7, найдем параметр m₂ другой, проходящей через них, прямой и т. д. В итоге получим пять значений параметра m, которые обрабатывают обычным способом: ищут среднее значение, среднеквадратичное отклонение и записывают окончательный результат в виде .

Для определения параметров нет необходимости в графическом построении прямых, проходящих через парные точки. Такие построения только засоряют график. Лучше занести координаты экспериментальных точек в таблицу и там же провести необходимые вычисления.

Рассмотренные методы статистической оценки параметров зависимостей между физическими величинами успешно применяются при выполнении работ лабораторного физического практикума. Дополнение стандартного способа обработки результатов измерений рассмотренными методами сразу делает выполнение лабораторной работы интересней и в методическом плане более правильным.

Список литературы

Гурьянов А.М. Методы статистической оценки параметров зависимости между физическими величинами. Методические указания. СГАСУ. – Самара, 2007. – 20 с.

Поиск по сайту: