Практическая часть. Практическое занятие М3(для студентов)

Практическое занятие М3(для студентов)

Тема занятия

Решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Цели и задачи

Иметь представление об основных понятиях темы.

Знать основные определения и теоремы, алгоритмы вычисления дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Уметь различать виды уравнений и применять к ним соответствующие алгоритмы решений.

Основные понятия

Понятие дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее и частное решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Вопросы к занятию

1. Понятие дифференциального уравнения.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

3. Однородные дифференциальные уравнения.

4. Общее и частное решение дифференциальных уравнений первого порядка.

5. Дифференциальные уравнения второго порядка.

6. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

7. Дифференциальные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

8. Характеристическое уравнение. Общее и частное решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Практическая часть

Пример 1. Решить уравнение = tg x (y +1).

Решение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, в котором f (x)=tg x и f (y)= y +1. Представим производную в виде отношения дифференциалов:

=tg x (y +1).

Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на dx и разделим на (у +1). Получим:

= tg x dx.

Интегрируя обе части равенства, получим:

= dx + С,

ln | y +1| = − ln |cos x | + C;

ln | (y +1) cos x | = C – общий интеграл.

Пример 2. Решить уравнение xy dx + (1+ y ) dy = 0.

Решение

Разделим обе части уравнения на у и получим уравнение с разделенными переменными:

= 0

Интегрируя последнее равенство, получим общий интеграл:

+ ln | y | + = C.

Выясним вопрос об особых решениях. Приравняем нулю произведение

у = 0. Тогда у =0 является особым решением, т.к. оно удовлетворяет заданному уравнению, но не может быть получено из общего интеграла ни при одном частном значении С.

Пример. Решить уравнение = .

Решение

В данном примере f (x, y) = . Легко проверить, что f (tx, ty) = f (x, y). Следовательно, уравнение является однородным.

Введем подстановку у = хz, где z − новая функция. Дифференцируя, получим = z + x . Тогда заданное уравнение примет вид:

z + x =

или z + x = z + 2 ;

x = 2 ;

= .

Мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим =ln | x | + ln C;

=ln| Cx |;

z = ln | Cx |.

Так как z = y / x, то получаем = ln | Cx |,

или у = х ln | Cx | − общее решение заданного уравнения.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y (0)=1.

Решение.

Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем y = uv, где u, v – неизвестные функции от х. Тогда . Подставляя y и в исходное уравнение, будем иметь:

Подберем функцию v = v (x) так, чтобы выражение, содержащееся в квадратных скобках, обращалось в нуль. Для определения v (х) имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

,

откуда .

После интегрирования получаем

lnv =− 2 ln (x +1), т. е.

Для определения функции u (x) имеем

или

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u (x). Разделяя переменные, будем иметь

Интегрируя обе части равенства, получаем

Последний интеграл находим методом интегрирования по частям, в результате чего имеем

,

откуда

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Используя начальное условие, вычисляем соответствующее ему значение постоянной С: , т. е. С = − 1

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

Поиск по сайту: