Знаходження умовного екстремуму функції багатьох змінних за методом Лагранжа

Означення. Екстремум функції при виконанні умови називається умовним екстремумом функції.

Для знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа потрібно:

1) Записати функцію Лагранжа у вигляді:

2) Знайти критичні точки функції Лагранжа, використовуючи необхідні умови існування екстремуму функції

3) Перевірити в кожній критичній точці достатні ознаки існування екстремуму:

a) Якщо в точці визначник третього порядку:

додатний, тоді точка є точкою максимуму і

b) Якщо визначник , тоді точка є точкою мінімуму і

Приклад:

Знайти екстремуму функції при умові

Розв’язання:

Застосуємо метод Лагранжа. Тоді функція Лагранжа приймає вигляд:

Необхідні умови існування екстремуму мають вигляд:

Для знаходження критичних точок функції Лагранжа розв’яжемо останню систему.

З першого рівняння отримуємо і підставимо це значення в друге рівняння. Одержимо:

.

Тепер останнє рівняння системи матиме вигляд:

Тоді

Отже, критичні точки функції Лагранжа:

Для перевірки достатніх умов існування екстремуму в кожній критичній точці знайдемо потрібні похідні в довільній точці М(х,у):

, , , ,

Тепер запишемо та обчислимо визначник третього порядку:

Отже, в точці функція має максимум, причому

Отже, в точці функція має мінімум:

Питання для самоперевірки:

1. Що таке екстремуми функції багатьох змінних?

2. Назвіть необхідну умову існування екстремуму.

3. Розкажіть алгоритм дослідження функції багатьох змінних на екстремум

4. Як виглядає функція Лагранжа?

5. Як виглядають необхідні умови існування умовного екстремуму?

Поиск по сайту: