АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Методы оптимальных решений

Читайте также:
  1. I. Методы выбора инновационной политики
  2. II. Методы прогнозирования и поиска идей
  3. Административные методы управления
  4. Административные методы управления природопользованием и охраной окружающей среды.
  5. Анализ воспитательного потенциала семьи. Методы изучения семьи.
  6. Анализ результатов теста. Стили и методы семейного воспитания
  7. Антропогенные воздействия на гидросферу и их экологические последствия. Методы защиты гидросферы.
  8. Базовые методы реанимации
  9. Бальнеологические методы лечения
  10. Биологические методы.
  11. В организации работы и оформлении решений
  12. В. Методы экономической теории

Предмет рассматривает специальные модели математического программирования (оптимизационные задачи с ограничениями).

В модели математического программирования всегда входят 3 элемента:

1. Переменные решения (при рассмотрении задачи эти величины можно менять).

2. Целевая функция (математически-формализованная цель принятия управленческого решения).

3. Ограничения (математически-формализованные, в виде уравнений или неравенств, условия ограниченности ресурсов).

Задача 1 «Мебельный Цех»

Мебельный цех производит шкафы и тумбы. Для производства шкафа требуется 3,5 м2 ДСП, 1 м2 стекла, 1 трудодень. Для производства тумбы 1 м2 ДСП, 2 м2 стекла, 1 трудодень. Прибыль от продажи шкафа планируется 200 у.е., тумба принесет 100 у.е. За смену можно израсходовать 350 м2 ДСП, 240 м2 стекла, на предприятии работает 150 человек.

Составить оптимальный производственный план, оптимизирующий прибыль.

1) Предложим произвести 100 шкафов и 0 тумб.

Рассчитаем прибыль:

Р=200у.е.*100шт=20000

Обсудим допустимость плана по ресурсам:

ДСП=3.5 м2 *100=350 м2 ≤ 350!

Стекло = 1 м2 *100=100 м2 ≤ 240

Труд = 1 тд * 100= 100 ≤ 150

2) Предложим произвести 90 шкафов и 35 тумб.

Р=200*90+100*35=21500 у.е.

ДСП =3.5*90+1*35=350 м2 ≤ 350!

Стекло = 1*90+2*35=160 м2 ≤ 240

Труд = 1*90+1*35=125 тд ≤ 150

ПРОБЛЕМЫ:

Возможных производственных планов бесконечно много - оценить их прибыльность и допустимость по ресурсам не представляется возможным.

Применим метод математического программирования:

1. Составим математическую модель ситуации:

1) Назначим переменные решения:

Х1 (шт) – выпуск шкафов за смену,

Х2 (шт) –выпуск тумб.

2) Составим целевую функцию:

Р=200*Х1+100*Х2→ Мах

3) Назначим ограничения:

ДСП=3.5*Х1+1*Х2 ≤350

Стекло =1*Х1+2*Х2 ≤240

Труд =1*Х1+1*Х2 ≤150

Х12 ≥0

2. Решить задачу геометрическим методом:

1) Построим многоугольник допустимых производственных планов:

 

ДСП=3.5х1 +1х2 ≤350 –полуплоскость, начать построение необходимо с границы:

3.5х1 +1х2 =350,

х1 =0; х2=350

х1 =100; х2=0

Рассмотрим ограничение по стеклу:

1 +2х2≤240 –полуплоскость, построение начать с границы:

1 +2х2=240

х1 =0; х2=120

х1 =240; х2=0

Рассмотрим ограничение по труду:

1 +1х2≤150 –полуплоскость, построим границу:

1 +1х2=150

х1=0; х2=150

х1 =150; х2=0

2) Найдем оптимальный производственный план:

Утверждение: Оптимальный производственныйплан находится в одной из угловых точек. Если план находится в угловой точке, то в данном случае два вида сырья расходуются полностью –план претендует на оптимальность по прибыли.

Нахождение координат угловых точек с последующим вычислением значения целевой функции для решения прикладных задач неприемлемо. В реальных задачах переменных ориентировочно около 20, ограничений около 30, угловых точек около триллиона, подсчет займет уйму времени, поэтому для анализа подключают целевую функцию, точнее её линии уровня.

Р=200 х1 +100х2→Мах

Допустим нас устраивает прибыль в 10000 у.е.

Р=10000у.е.

10000=200 х1 +100х2 -прямая на плоскости

х1 =0; х2 =100

х1 =50; х2=0

Возьмем уровень прибыли в 15000 у.е.

Р=15000у.е.

15000= 200х1 +100х2

х1 =0; х2=150

х1 =75; х2=0

Перечислим свойства линий уровня прибыли:

Они параллельны, при сдвиге линий уровня вправо прибыль возрастает.

Итак выбираем одну линию уровня прибыли и производим параллельный перенос вправо, тем самым находя оптимальную угловую точку.

х1 =80; х2=70.

Найдем координаты угловой точки аналитически, точка на пересечении первой (ДСП) и третьей (труд) границы.

{3.5 х1 +1х2=350

{1х1 +1х2=150

х2=150- х1

3,5х1 +150-х1 =350

2,5х1 =250

х1 =200/2,5

х1 =80

х2=150-80

х2=70

Итак: математическое моделирование рекомендует шкафов производить 80, тумб 70, сырья должно хватить, а прибыль будет максимальной!

Р=200*80+100*70=16000+7000=23000 у.е.

Проверим план на допустимость:

ДСП=3,5*80+1*70=280+70=350 ≤350!

Стекло=1*80+2*70=80+140=220 ≤240!

Труд=1*80+1*70=150 ≤150!

Заключительные замечания:

1. Геометрический метод применим только для простых задач математического программирования: переменных 2, ограничений 3.

2. Для решения прикладных задач (переменных решения >3) применяется алгоритм симплекс метода (интеллектуальный обход угловых точек: переход из одной точки в другую осуществляется только при улучшении целевой функции).

Рассмотрим другие задачи:

Задача 2 Компания Reddy Mikks

Компания Reddy Mikks производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2. Следующая таблица представляет основные данные задачи:

  Расход сырья (в тоннах) на тонну краски Максимально возможный ежедневный расход сырья
Для наружных работ Для внутренних работ
Сырье М1      
Сырье М2      
Доход (в $1000) на тонну краски      

 

Отдел маркетинга компании ограничил производство краски для внутренних работ до 2т. (из-за отсутствия надлежащего спроса), а так же поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ не превышало более, чем на тонну аналогичный показатель производства краски для внешних работ. Компания хочет определить оптимальное (наилучшее) соотношение между видами выпускаемой продукции для максимизации ежедневного дохода.

Составим математическую модель задачи:

1. Назначим переменные решения:

х1 = выпуск краски для наружных работ,

х2 = выпуск краски для внутренних работ.

2. Составим целевую функцию:

Р=5х1 +4х2 →Мах

3. Назначим ограничения:

М1: 6 х1 +4х2 ≤24

М2: 1х1 +2х2 ≤6

Ограничения отдела маркетинга:

х1 ≤2

х2 ≤1+х1

х1 2 ≥0

В задаче 2 переменных решения, в принципе, возможно решить геометрически.

Начнем построение с границ:

1) 6х1+4х2=24

Х1=0, х2=6;

Х1=4, х2=0

2) 1х1+2х2=6

Х1=0, х2=3;

Х1=6, х2=0

Маркетинговые ограничения:

3) Х1=2;

Х21+1, х2=1+2, х2=3

Предположим, прибыль равна 20:

4) Р = 5х1+4х2=20

Х1=0, х2=5;

Х1=4, х2=0.

 

Компьютерное решение:

  Наружные Внутренние Запасы Реальный расход
Сырье М1        
Сырье М2        
Доход (в $1000) на тонну краски        
Выпуск        
Прибыль        

 

Итак: математическое моделирование рекомендует производить одинаковое количество краски как для внутренних, так и для наружных работ -по 2 тонны, сырья должно хватить, а прибыль будет максимальной!

 

Задача 3 «На кондитерской фабрике»

Маленькая кондитерская фабрика должна закрыться на реконструкцию. Необходимо реализовать оставшиеся запасы сырья для производства продуктов из ассортимента фабрики, получив максимальную прибыль. Запасы и расход сырья, необходимые для производства единицы продукции каждого вида, а также получаемая при этом прибыль представлены в таблице.

Мастер, используя свой 20-летний опыт, предлагает на глазок выпустить по 200 пакетов каждого продукта, утверждая, что ресурсов «должно хватить», а прибыль получится, очевидно, 1080 у.е.

Сын владельца фабрики, только что закончивший УИФР. Утверждает, что такие проблемы надо решать не на глазок, а с помощью линейного программирования. Умиленный отец обещает сыну всю прибыль сверх 1080 у.е., если он предложит лучший план, чем многоопытный мастер.

Сырье Запасы Продукты
Ореховый звон Райский вкус Батончик Белка Ромашка
Темный шоколад   0.8 0.5     1.1
Светлый шоколад   0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
Сакар 815.5 0.3 0.4 0.6 1.3 0.05
Карамель   0.2 0.3 0.3 0.7 0.5
Орехи   0.7 0.1 0.9 1.5  
Прибыль/пакет, у.е.   0.7 1.1   0.6

 

1. Обсудим план мастера:

Мастер предлагает производить по 200 пакетов конфет каждого вида. Проверим план на прибыльность:

Р=200*1+200*0.7+200*1.1+200*2+200*0.6=200+140+220+400+120=1080у.е.

Проверим план мастера на допустимость по ресурсам:

Т.ш.=200*0.8+200*0.5+200*1+200*2+200*1.1=160+100+200+400+220=1080кг≤1411

2. Применим научный подход, составим математическую модель задачи:

1) Назначим переменные решения:

Х1-выпуск конфет «Ореховый звон»

Х2-выпуск «Райский вкус»

Х3-выпуск «батончиков»

Х4-выпуск конфет «Белка»

Х5-выпуск конфет «Ромашка»

2) Назначим целевую функцию:

Р=1х1+0.7х2+1.1х3+2х4+0.6х5→Мах

3) Составим ограничения:

Т.Ш.=0.8х1+0.5х2+1х3+2х4+1.1х5≤1411

С.Ш.=0.2х1+0.1х2+0.1х3+0.1х4+0.2х5≤149

Сахар=0.3х1+0.4х2+0.6х3+1.3х4+0.05х5≤815.5

Карамель=0.2х1+0.3х2+0.3х3+0.7х4+0.5х5≤466

Орехи=0.7х1+0.1х2+0.9х3+1.5х4+0х5≤1080

Х1, х2, х3, х4, х5≥0

Геометрически задача не решается, решается она на компьютере Симплекс методом.

  Ореховый звон Райский вкус Батончик Белка Ромашка Запасы Реальный расход
Темный шоколад 0,8 0,5     1,1    
Светлый шоколад 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2    
Сакар 0,3 0,4 0,6 1,3 0,05 815,5 815,5
Карамель 0,2 0,3 0,3 0,7 0,5   465,8891663
Орехи 0,7 0,1 0,9 1,5      
Доход   0,7 1,1   0,6    
Выпуск 454,4832751 58,7818273   503,9890165 9,131303045    
Прибыль 1509,087369            

 

Итак: математическое моделирование рекомендует конфеты «Ореховый Звон» производить в количестве 454 пакета, «Райский вкус»-59 пакетов, «Батончики» исключить из производства, конфеты «Белка» -504 пакета, «Ромашка»-9 пакетов, сырья должно хватить, а прибыль будет максимальной!

 


Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.012 сек.)