Методы расчета электрических цепей

Cоставление уравнений для расчета токов в схемах с помощью закона Киргофа.

Рисунок 1.6

Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число не известных токов равняется в - в ит. Перед тем как составлять уравнение необходимо выбрать положительное направление токов в ветвях, и обозначить их на схеме и положительное направление обхода контуров для составления уравнений по второму закону Киргофа. С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительное направление обходов выбирать одинаковые (Например: по часовой стрелки). Чтобы получить линейно независимо уравнение по первому Закону Киргофа, составляет число уравнений равное числу узлов без единиц (у -1). Уравнение для последнего у -това узла не составляет, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для у -1 узлов. По сколько в эту сумму входили бы дважды с противоположными знаками токи ветвей не подходящих у -тому узлу, а токи ветвей подходящих у -тому узлу входили бы в эту сумму со знаками противоположными тем с какими они вошли для уравнения у -того узла. По второму закону Киргофа составляет число уравнений равное числу ветвей без источников тока за вычетом уравнений составленных по первому закону Киргофа (в-вит)-(у-1)=в-вит-у+1. Составляя Уравнения по Второму закону Киргофа следует охватить все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Киргофа, стремятся что бы в каждый новый контур для которого составляют уравнения входила бы хотя бы одна новая ветвь не вошедшая в предыдущий контур, для которых уже записаны уравнения по второму закону Киргофа, такие контуры называют независимые.

Пример: Найдем токи в ветвях схемы и условиях рис 1.6. Выбирая произвольно положительные токи в цепях в =3, вит =0, у =2. Следовательно, по первому закону Киргофа можно составить тока одно уравнение токов:

.

По второму закону Киргофа составим уравнение:

.

Произвольно выберем положительное напрвление обхода контура по часовой стрелки. Для левого контура имеет:

.

плюс совпадает с направление обхода контура, так как направление тока противоположна обходу контура. Для правого контура:

Решая совместно 3 полученных уравнения определить токи:

.

По сколько положительные направление токов выбраны произвольно Токи и получились отрицательными, это означает что реальное направление токов, противоположны выбранным нами направлением.

Методы расчета электрических цепей.

Все методы расчета сложных цепей основаны на 2 законах Киргофа. Так как электрические состояние любой цепи полностью определяется этими законами, задача расчета обычно является определением токов, напряжений и мощностей всех участков цепи или отдельных её элементов по известной конфигурации цепи. Это означает что известно число ветвей и узлов, то есть задана схема цепи. Если число неизвестных переменных равно числу линейных независимых уравнений, то можно говорить о полном числовом расчете цепи. Если же число неизвестных переменных (сопротивлений, ЭДС, токов) превышает число всевозможных линейных независимых уравнений, то методы расчета позволяют выразить зависимости между переменными для последующих аналитических исследований схемы. Существует несколько методов расчета сложной цепи: метод контурных токов, метод узлового напряжения, метод наложения и метод эквивалентного генератора.

Рисунок 1.7

Этот метод относительно сложен, но зато он может быть применен для расчета любой линейной цепи постоянного или переменных токов. Для расчета по методу контурных токов схема сложной цепи по кратчайшим путям разбивается на отдельные контурные ячейки. Затем в каждом из контуров произвольно выбирается направление контурного тока, то есть тока, замыкающегося только в данном контуре. Токи в ветвях являющаяся общими для 2 или более контуров является, определяется первого Закона Киргофа как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

.

Благодаря такой подстановке соответственно уменьшается число рассчитываемых токов, а уравнение схемы составляются на основании только второго закона Киргофа, причем направление обходов контуров берется совпадающие с направление контурных токов.

Для данной схемы справедливы три контурных уравнения:

;

;

.

Будем рассматривать алгебраическую сумму ЭДС в контуре как контурный ЭДС и соответственно обозначим:

;

;

Сумму сопротивлений сторон контура будем называть контурным сопротивлением и обозначим:

Таким образом, три уравнения можно записать в следующей форме:

Для единообразия построения уравнений условимся считать отрицательные сопротивление тех смежных ветвей двух контуров ток, в которой противоположен по направлению току рассматриваемого контура. Обозначим:

;

;

после такой замены получим:

Если обратится к общему случаю схемы состоящей из ячеек, то её контурное уравнение в обобщенном виде будет:

Всего для схемы может быть составлено n уравнений. Это система уравнений может быть решена для контурных токов в общей форме с помощью метода «Определителей»:

где, - алгебраическое дополнение определители получаемые из по средствам вычеркивания в этом определители k – строки и n – столбца и умножение этого определителя .

В частности для уравнения контурных токов в общем виде:

Здесь определитель третьего порядка дельта. Алгебраические дополнения определителя системы:

Таким образом, при пользовании методом контурным токов нет надобности составлять уравнение законов Киргофа а достаточно рассчитать определители и на основе такого расчета найти контурные токи, применив для этого обобщенное уравнение контурного тока.

Поиск по сайту: