Формула Тейлора. Пусть функция имеет в точке а и некоторой её окрестности производные до (n + 1)-го порядка; х – любое значение аргумента из указанной окрестности

Пусть функция имеет в точке а и некоторой её окрестности производные до (n + 1)-го порядка; х – любое значение аргумента из указанной окрестности, , тогда справедлива формула Тейлора:

, (1)

где - остаточный член.

Формула (11) названа в честь английского математика Брука Тейлора (1685-1731).

Остаточный член формулы Тейлора можно записать в разных формах, например, в форме Лагранжа:

= , , (2)

или в форме Пеано:

= при . (3)

Формула (13) означает, что остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при . Действительно,

как произведение ограниченной функции на бесконечно малую при .

При а = 0 из формулы Тейлора (1) получается формула Маклорена:

, (4)

где - остаточный член.

Формулы Тейлора (1) и Маклорена (4) позволяют с определённой точностью заменять любую функцию, дифференцируемую достаточное число раз, более простыми функциями - многочленами.

Рассмотрим примеры разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена (4).

1) . Так как

,

,

то

.

2) . Так как

,

, ,

то

.

3) . Так как

, , , ,

, …,

то

.

4) . Так как

, , , ,

, …,

то

.

5) . Так как

, , ,

то

= .

Получите самостоятельно следующие разложения:

6) …

.

7) .

Замечание: Формулу Тейлора (1) можно записать в другом виде. Для этого положим в (1) , , , тогда

.

Откуда при n = 0 получается формула Лагранжа

.

Разложения по формулам Тейлора и Маклорена используют для вычисления приближённых значений функции . При этом сохраняют первые n членов, а остальные отбрасывают.

Пример: Вычислить приближённо: а) ; б) ln 1,03.

Решение:

а) Воспользуемся разложением функции по формуле Маклорена, полагая х = 1/3, получим:

= .

б)Воспользуемся разложением функции по формуле Маклорена, полагая х = 0,03, получим:

= .

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение второй производной, производной n-го порядка. Приведите примеры.

2. Раскройте механический смысл второй производной. Как найти ускорение прямолинейного движения точки?

3. Назовите формулу Тейлора и ее основные формы. Где применяют разложения по формулам Тейлора и Маклорена?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Поиск по сайту: