АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема Эйлера

Читайте также:
  1. Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера
  2. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
  3. Критериев подобия (p-теорема)
  4. Метод Эйлера-Коши с итерациями для систем дифференциальных уравнений
  5. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера
  6. Основная теорема о поверхностях второго порядка
  7. Основная теорема Шеннона для дискретного канала с помехами.
  8. Природа діамагнетизму. Теорема Лармора
  9. Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова.
  10. Решение произвольных систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
  11. Розподіл прав власності. Теорема Коуза.
  12. Состояние термодинамических систем. Стационарные состояния в открытых термодинамических системах. Теорема Пригожина. Понятие гомеостаза.

Приведем пояснения к доказательству базовой теоремы в теории поворотов. Все остальные результаты теории получаются как следствия данной теоремы и при желании могут быть доказаны проницательным читателем самостоятельно.

Теорема Эйлера: произвольный тензор поворота P, отличный от 1, допускает единственное представление

P = mm + cosθ(1 – mm) + sinθ m × 1, (34)

 

где единичный вектор m определяет прямую в пространстве, называемую осью поворота; θ называется углом поворота и считается положительным, если поворот при взгляде с конца вектора m происходит против хода часовой стрелки.

 

Пояснения к доказательству: Покажем, что для тензора поворота P, существует единственный с точностью до множителя (±1) единичный вектор m (он называется неподвижным вектором тензора P), удовлетворяющий уравнению

P · m = m, | m | = 1. (35)

Данное уравнение можно переписать в эквивалентной форме

(P – 1) · m = 0, | m | = 1, (36)

т.е. вектор m является решением однородного линейного уравнения. Из курса линейной алгебры известно, что однородная система линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю

det(P – 1) = 0. (37)

Покажем, что это так. Для этого выпишем цепочку тождественных преобразований (использовано det(P) = 1)

det(P – 1) = det[ P ·(1 – PT)] = = det(P)det(1 – PT) = det(1 – PT) = = det(1 – P) = – det(P – 1). (38)

Получили, что det(P – 1) = –det(P – 1), а это возможно, если верно равенство (37). Итак, ненулевое решение уравнения (36) существует. Понятно, что если m есть решение (36), то и (– m) есть решение этого уравнения. Однако оба эти вектора определяют одну и ту же прямую, натянутую на вектор m.

Далее методом «от противного» можно показать, что для тензора поворота P, отличного от 1, существует только один неподвижный вектор ± m.

Выберем теперь правую ортонормированную тройку векторов d 1 = m, d 2, d 3. Согласно (32) мы можем записать

P = D 1 d 1 + D 2 d 2 + D 3 d 3 = D 1 m + D 2 d 2 + D 3 d 3, (39)

где тройка D 1, D 2, D 3 также является правой ортонормированной. Умножив равенство (39) скалярно на m справа и учтя (35), получим

P · m = D 1 = m. (40)

Таким образом, равенство (39) принимает вид

P = mm + D 2 d 2 + D 3 d 3. (41)

Здесь все четыре вектора d 2, d 3, D 2, D 3 лежат в одной плоскости, т.к. все они ортогональны одному и тому же вектору m. Поэтому D 2, D 3 можно разложить по векторам d 2, d 3 (см. рис. 2)

D 2 = cosθ d 2 + sinθ d 3, D 3 = – sinθ d 2 + cosθ d 3. (42)

Рис. 2

Подставляя эти разложения в (41) и проводя элементарные преобразования, получаем

P = mm + (cosθ d 2 + sinθ d 3) d 2 + (–sinθ d 2 + cosθ d 3) d 3 = = mm + cosθ(d 2 d 2 + d 3 d 3) + sinθ(d 3 d 2 – d 2 d 3) = = mm + cosθ(d 1 d 1 + d 2 d 2 + d 3 d 3 – mm) + sinθ m × (d 1 d 1 + d 2 d 2 + d 3 d 3) = = mm + cosθ(1 – mm) + sinθ m × 1 (43)

Последним равенством и заканчивается доказательство теоремы Эйлера. Обратим внимание, что замена m на – m влечет за собой замену θ на – θ. При этом сам тензор P не меняется.

Пример.

Пусть вектор a параллелен оси поворота (лежит на оси поворота), т.е. a = α m, то P · a = a и вектор a не меняется при действии на него тензора P. Пусть a ортогонален оси поворота: a · m = 0. Тогда

a ′ = P · a = cosθ a + sinθ m × a. (44)

Этот результат изображен на рис. 3а.

Рис. 3

Видно, что действие тензора поворота на вектор a, ортогональный оси поворота, сводится к повороту на угол θ вокруг m. Если θ > 0, то поворот производится против часовой стрелки при взгляде с конца m. Поворот произвольного вектора a показан на рис. 3б, при этом проекция вектора a на m сохраняется, а часть вектора a, ортогональная a, поворачивается на угол θ вокруг m.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)