 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Композиция поворотов. Правило квазикоммутативности
Введем в рассмотрение понятие сложного поворота. Пусть задан вектор a и тензоры поворота P 1 и P 2. Повернем вектор a тензором P 1 и найдем вектор a ′ ≡ P 1 · a. Далее вектор a ′ повернем тензором P 2 и найдем вектор a ′′ ≡ P 2 · a ′. В результате вектор a ′′ вычисляется как сложный поворот вектора a
| a ′′ ≡ P 2 · a ′ = P 2· P 1 · a = P · a, P=P 2· P 1. | (45) |
Из (45) видно, что при последовательном проведении двух поворотов результирующий поворот выражается через произведение составляющих поворотов. Известно, что в общем случае произведение тензоров не коммутативно
| P 2· P 1 ≠ P 1· P 2. | (46) |
Это означает, что если произвести повороты в другом порядке, сначала P 2 потом P 1, то результат будет другой.
Однако не следует абсолютизировать условие (46), так как существует определенное правило квазикоммутативности (т.е. как бы перестановочности) поворотов, играющее очень важную практическую роль. В то же время это правило интуитивно понятно и расширяет поле для фантазии при описании вращения.
Пусть имеется два последовательных поворота P 1 = Q (θ n) и P 2 = Q (φ m), тогда
| Q (φ m)· Q (θ n) = Q (φ m)· Q (θ n)· 1 = = Q (φ m)· Q (θ n)· QT (φ m)· Q (φ m). | (47) |
Посмотрим на Q (φ m)· Q (θ n)· Q T (φ m)
| Q (φ m)· Q (θ n)· QT (φ m) = = Q (φ m)·[ nn + cosθ(1 – nn) + sinθ n × 1 ]· QT (φ m) = = n ′ n ′ + cosθ(1 – n ′ n ′) + sinθ n ′ × 1, | (48) |
где n ′ = Q (φ m) · n – повернутый вторым поворотом вектор n. В итоге получаем
| Q (φ m)· Q (θ n) = Q (θ n ′)· Q (φ m). | (49) |
То есть результирующий поворот можно осуществить двумя способами. Либо сначала повернуть на угол θ вокруг n, а затем на угол φ вокруг m. Либо сначала на угол φ вокруг m, а затем на угол θ, но уже вокруг другой повернутой оси n ′.
Правило
| Q (φ m)· Q (θ n)· QT (φ m) = Q (θ n ′), n ′ = Q (φ m) · n | (50) |
полезно запомнить для проведения чисто формальных преобразований без привлечения интуиции.
Пример.
Всем известен пример из детства с юлой. В механике этот объект называется волчком Лагранжа (см. рис. 4) и представляет собой осесимметричное тело вращения с одной точкой опоры. Юла одновременно вращается вокруг собственной оси n ′, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикали m, проходящей через точку опоры.
Рис. 4
На первый взгляд кажется, что наиболее удобной формой задания тензора поворота юлы является P = Q (θ n ′)· Q (φ m). Но ведь вектор n ′ непостоянный, а это в ряде случаев может существенно усложнить моделирование. Но так как n ′ = Q (φ m) · n, то, пользуясь правилом квазикоммутативности, мы можем написать P = Q (φ m)· Q (θ n), где вектор n является константой и определяет направление оси юлы в начальный момент. Второй вариант уже существенно менее затратен для моделирования. Тем не менее, при постановке задач первый способ оказывается более выигрышным.
Поиск по сайту: