Определение погрешности косвенных измерений

Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ_ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ_ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d. Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений

(d_А, d_В, d_С, …).

Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:

1. Находят натуральный логарифм от заданной функции

ln{X = f(A,B,C,…)};

2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;

3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;

4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС, … на «плюсы».

В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d_x косвенно измеренной величины Х:

d_x = = j (A_ср, B_ср, C_ср, …, DA_ср, DB_ср, DC_ср, …). (18)

По найденной относительной погрешности d_x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:

DХ_ср = d_x ^. Х_ср. (19)

Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:

X = (X_ср ± DХ_ср), ед.изм. (20)

Рис. 2.2.

Пример:

Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L, определяемой косвенно по формуле:

, (21)

где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).

1. Вычисляют среднее значение L_ср, подставляя в (21) средние значения из таблицы – π_ср, g_ср , t_ср , k_ср , α_ср , β_ср.

2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ_L:

a). Логарифмируют формулу (21):

(22)

b). Дифференцируют полученное выражение (22):

(23)

c).Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ_L:

δ_L =

d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ_L.

3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL_ср:

Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L:

, ед. изм.

2. Правила округления результатов вычисления

Результаты математических действий над приближенными числами округляют до следующего количества значащих цифр:

a) при сложении и вычитании отбрасывают значащие цифры из последних разрядов, если их нет в одном их слагаемых;

b) при умножении и делении сохраняют столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством этих цифр;

c) при вычислении значений функций Aⁿ, , lgA оставляют столько значащих цифр, сколько их в А.

В промежуточных результатах сохраняют на одну («запасную») цифру больше.

Примеры:

1) 0,374 + 13,1 + 2,065 ≈ 15,5

Отброшены сотые и тысячные доли единиц, отсутствующие в числе 13,1.

2)

Оставлены две значащие цифры по их количеству в числе 7,2.

3) 216³ ≈ 101·10⁵

Оставлены три значащие цифры по их количеству в числе 216.

3. Оформление результатов прямых и косвенных измерений

Результаты измерений записывают в стандартном виде с использованием нормальной формы записи чисел, заменяя незначащие нули соответсвующей степенью десяти.

Обязательно указывается относительная погрешность измерения в процентах.

Округление конечных результатов делается по следующим правилам:

a) в среднем значении абсолютной погрешности DХ_ср оставляют одну не нулевую значащую цифру (или две, если первая цифра – единица);

b) в среднем значении результата измерения X_ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную (две, если округленная погрешность содержит две значащие цифры).

Сомнительными считаются цифры в последних разрядах X_ср, начиная с разряда, использованного для записи абсолютной погрешности DХ_ср..

Для сравнения полученного результата с данными другого опыта или с табличным значением следует показать интервалы сравниваемых величин на числовой оси.

При частичном или полном перекрытии интервалов можно делать вывод о равенстве величин в пределах погрешности измерений.

Пример:

Поиск по сайту: