Найти плотность тела и погрешность определения плотности

Результаты прямых измерений массы m и объема V тела занесены в строку «среднее» табл. 1:

m_ср = 63,303 г; Δm_ср = 0,142 г;

V_ср = 8,0457 см³; ΔV_ср = 0,0422 см³

Требуется:

а) записать результаты прямых измерений в стандартном виде в единицах СИ:

б) найти плотность тела и погрешность определения плотности:

в) пользуясь справочной таблицей плотностей определить материал тела.

а) m_ср ≈ 63,30 г = 63,30 ·10^{-3 кг;}

(сохранены две верные цифры 6 и 3, не имеющие погрешности, и две сомнительные цифры 3 и 0, содержащие погрешность);

Δm_ср ≈ 0,14 г = 0,14 ·10^{-3 кг;}

(округление до двух значащих цифр, т.к. первая из них – единица);

δ_m = Δm_ср / m_ср = 0,221 ·10^-2;

V_ср ≈ 8,05 см³ = 8,05 ·10^{-6 м3},

(сохранены две верные цифры 8 и 0 и одна сомнительная 5);

ΔV_ср ≈ 0,04 см³ = 0,04 ·10^{-6 м3} (округление до одной значащей ицифры);

δ_V = ΔV_ср / V_ср = 0,50 ·10^-2;

m = (63,30 ± 0,14) ·10^{-3 кг, δ}_m = 0,221 %;

V = (8,05 ± 0,04) ·10^{-6 м3}, δ_V = 0,50 %.

б) Среднее значение плотности:

Относительная погрешность в определении плотности тела:

1) 2) 3)

4) ;

Абсолютная погрешность Δρ_ср:

Δρ_ср = δ_ρ ·ρ_ср = 0,72·10^-2 ·7,86·10³ = 60 кг/м³

(Округление до одной значащей цифры)

Запись в стандартном виде:

ρ = (7,86 ± 0,06)·10³ кг/м³; δ_ρ = 0,72 %

(Сохранены две верные цифры 7 и 8 и одна сомнительная – 6)

в) В справочной таблице ближайшей к полученному значению является плотность железа:

ρ_табл = 7800 кг/м³ = 7,8·10³ кг/м³

Δρ_табл = 100/2 = 50 кг/м³ (половина последнего значащего разряда).

Стандартная запись табличного значения плотности:

ρ_табл = (7,80 ± 0,05)·10³ кг/м³

Рис.2.3.

Интервалы на Рис. 2.3 частично перекрылись, поэтому можно сделать вывод о равенстве физических величин в пределах погрешностей измерений.

4. Правила построения графиков

Графики в отличие от таблицы, дают более информативное представление об объекте измерения Y, если он представлен функциональной зависимостью Y = f(X) (Рис. 2.4.):

a) график позволяет находить значение функции Y = f(X) между значениями аргумента X₁ и X_2, которые экспериментально непосредственно не определялись (интерполяция);

b) график позволяет находить значение функции Y = f(X) за пределами интервала значений аргумента X, в котором были проведены измерения (экстраполяция).

При построении графиков обычно используют прямоугольную систему координат. Принято на горизонтальной оси откладывать независимую переменную - аргумент Х, а по вертикали – функцию Y.

Шкалы могут быть как равномерными, так и неравномерными. Может быть использована логарифмическая шкала (логарифм величин на одной оси) и двойная логарифмическая шкала (логарифм величин на обеих осях).

Построение графиков начинают с выбора масштабов для координатных осей таким образом, чтобы рабочее поле графика, включающее крайние значения отображаемых величин, занимало основную долю площади, ограниченную координатными осями.

Масштаб для каждой оси выбирают так, чтобы весь интервал соответствующих экспериментальных значений занимал большую часть оси. Практически надо взять разность максимального и минимального значений величины из таблицы и этот интервал использовать для выбора масштаба оси. При этом начало оси не обязательно должно совмещаться с нулевым значением величины.

Масштаб должен выбираться так, чтобы 1 см соответствовал 1, 2 или 5 единицам измерения, умноженным на соответствующую степень десяти, чтобы цифры у делений не были слишком длинными.

После выбора масштаба каждую ось размечают, деля ее на равные промежутки и подписывая деления так, чтобы цифры не загромождали ось. В конце оси указывают обозначения величины и единицы измерения, вводя при необходимости степень десяти (10ⁿ).

Значения величины, имеющиеся в таблице, но не соответствующие делениям оси, на графике не пишут.

Так как результаты измерений имеют погрешности (Х±DХ, Y±DY), то на графике необходимо указать интервалы 2DХ и 2DY, в середине которых находятся средние значения измеряемых величин.

Экспериментальные точки наносят на график в выбранном масштабе. Затем эти точки соединяют плавными кривыми, проводя их в пределах погрешностей так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой.

Нельзя соединять точки ломаной линией, т.к. в большинстве случаев физические зависимости описываются плавными кривыми, а разброс точек относительно кривой объясняется случайными погрешностями эксперимента.

5. Определение параметров функциональных зависимостей

Если изучаемые величины связаны функциональной зависимостью , то в табл.1 вводят столбцы для аргумента и функции . Строка «среднее» не заполняется, а погрешность определяется для одного (любого) опыта.

Например, если изучаемые в эксперименте величины и связаны функциональной зависимостью вида или , то обычно целью эксперимента является установление коэффициентов a и b.

Наиболее просто и достаточно точно можно получить искомые параметры, исследуя графики соответствующих зависимостей.

Логарифмируя выражение , получим:

, откуда .

Логарифмируя выражение , получим:

, откуда , потенцируя получают b.

Кроме графической аппроксимации возможно применение метода численного сглаживания экспериментальных зависимостей (метод наименьших квадратов)

6. Метод наименьших квадратов

Под методом наименьших квадратов понимается определение неизвестных параметров a, b, c,… принятой функциональной зависимости

y = f(x,a,b,c,…),

которые обеспечивали бы минимум среднего квадрата (дисперсии) ошибки

, (24)

где x_i, y_i – совокупность пар чисел, полученных из эксперимента.

Так как условием экстремума функции нескольких переменных является условие равенства нулю ее частных производных, то параметры a, b, c,… определяются из системы уравнений:

; ; ; … (25)

Необходимо помнить, что метод наименьших квадратов применяется для подбора параметров после того, как вид функции y = f(x) определен.

Если из теоретических соображений нельзя сделать никаких выводов о том, какой должна быть эмпирическая формула, то приходится руководствоваться наглядными представлениями, прежде всего графическим изображением наблюденных данных.

На практике чаще всего ограничиваются следующими видами функций:

1) линейная ;

2) квадратичная ;

3) гипербола ;

4) показательная .

Пример: Требуется определить вид и параметры функциональной зависимости двух переменных, заданных таблицей их значений:

		…		…
		…		…

По данным таблицы строится график (Рис. 2.5)

Соответствующие точки на графике располагаются вблизи прямой линии. В этом случае лучше всего подойдет линейная функция вида . Коэффициенты a и b нужно подбирать так, чтобы сумма S квадратов отклонений вычисленных значений от наблюдаемых значений y_i принимала наименьшее значение (26):

Сумма (26) является функцией двух переменных a и b, поэтому она принимает минимальное значение при тех значениях a и b, при которых обращаются в нуль частные производные этой функции по каждой переменной:

и . (27)

Находим частные производные:

.

Приравнивая каждую частную производную в нулю, получаем систему двух линейных уравнений относительно a и b:

Подставляя найденные значения параметров a и b в выражение выбранного нами вида аппроксимирующей табличные данные функции , получаем вместо набора дискретных значений, полученных экспериментальным путем, вполне определенную функциональную зависимость .

_________ Конец 1 лекции ___________

Поиск по сайту: