Діелектрична стала

Отже, що таке електричне поле у діелектрику, ми розібрали і знайшли його зв’язок із кількісною характеристикою поляризації – вектором поляризації. Але це поле ще треба знайти. Очевидно, що поле у діелектрику дорівнює векторній сумі зовнішнього поля, яке і надалі будемо позначати , і поля поляризаційних зв’язаних зарядів , тобто

.

Надалі розглядатимемо однорідні та ізотропні речовини, для котрих скаляр всередині діелектрика.

Задачі по знаходженню електричного поля у діелектрику різної конфігурації ви будете розв’язувати на семінарах. Я покажу лише один приклад, який нам потрібен, щоб ввести ще одну, дуже важливу характеристику речовини.

Діелектрик у пласкому конденсаторі. Плаский конденсатор, що має площу пластин , відстань між пластинами , заповнений діелектриком. Може виникнути дві ситуації: а) конденсатор був заряджений за відсутності діелектрика, далі його від’єднали від джерела живлення і вставили діелектрик; б) процедура аналогічна, але конденсатор весь час з’єднаний із джерелом живлення.

а) У цьому випадку заряд пластин залишається сталим , отже сталою залишається і густина поверхневого заряду . Як ми отримали раніше, за відсутності діелектрика . Введення діелектрика приводить до появи на його поверхні поляризаційних зарядів, поле яких (направлене у протилежний бік).

Зовнішнє (для діелектрика) поле і поле індукованих поверхневих зарядів направлені у протилежні боки, тому поле у діелектрику дорівнює

.

Густина поверхневого поляризаційного заряду пов’язана у випадку плаского конденсатора із вектором поляризації як , а вектор поляризації, у свою чергу, пов’язаний із полем у діелектрику , тому

,

звідки поле у діелектрику

.

Введемо величину

, в системі CGSE

заради якої, власне, ми й полізли у цю задачу. Вона називається діелектричною сталою або діелектричною проникністю (не плутайте з електричною сталою, або діелектричною сталою вакууму). Діелектрична стала (проникність) показує, у скільки разів поле у даному діелектрику відрізняється від поля у вакуумі

. в системі CGSE

В системі CІ діелектрична стала вводиться наступним чином. Вектор поляризації пов’язаний із полем у діелектрику як , а з густиною поверхневого поляризаційного заряду як (від системи одиниць не залежить), поле поляризаційного заряду , тоді

,

звідки діелектрична проникність

, в системі CІ

а поле в діелектрику має такий самий вигляд

. в системі CІ

Це природно, що вираз для поля однаковий в обох системах одиниць, і випливає із фізичного змісту діелектричної проникності (у кілька разів відрізняється поле у діелектрику і поле у вакуумі).

Природно припустити, що із введенням діелектрика до конденсатора, зміниться його ємність. Ємність будь-якого конденсатора визначається як

,

де ємність конденсатора без діелектрика.

В системі CGSE: .

Вираз не зміниться в системі СІ, але ємність має інший вигляд , тому

В системі СІ: .

б) В цьому випадку конденсатор постійно підключений до джерела живлення , тому поле не змінюється при внесенні діелектрика в конденсатор .

До внесення діелектрика на пластинах був заряд , а поле . Внесення діелектрика приводить до появи на його поверхні поляризаційного заряду , який компенсує частину заряду на пластинах, і виникає поле . Але одночасно такий же заряд з’являється на пластинах конденсатора за рахунок джерела живлення, тому поле конденсаторних пластин зростає до . Таким чином, в цьому випадку поле при внесенні діелектрика не змінюється

,

а змінюється заряд пластин

.

Отже, при під’єднаному до джерела живлення конденсаторі діелектрична проникність показує, у скільки разів збільшується заряд пластин при введенні діелектрика.

А що буде у цьому випадку із ємністю конденсатора?

.

Зверніть увагу, ємність не залежить від того, чи живимо ми конденсатор, чи ні. Власне, це й зрозуміло. Ємність – це властивість самого конденсатора, а не електричного кола, до якого його під’єднують.

Решту задач розв’язуйте на семінарах, оскільки вони можуть зустрітись на екзамені, та дивіться у підручниках

(Калашников, Сивухин, Матвеев та інші)

Діелектрик у конденсаторі містить порожнину. Зарядимо конденсатор і від’єднаємо його від джерела живлення. Введемо до нього діелектрик, що містить порожнину. Знайдемо електричне поле у порожнині. Всередині порожнини – вакуум, отже, мова йде про поле у вакуумі. Візьмемо порожнини у вигляді тонкої і довгої трубки та у вигляді широкого циліндру з малою висотою, осі яких співпадають із напрямком вектора .

У випадку тонкої довгої трубки

,

де перші два доданки дають поле у діелектрику , а поле зв’язаних зарядів, які розміщені на торці порожнини. Якщо діаметр торця трубки набагато менше її довжини , тобто , то в центрі трубки . В результаті отримуємо, що поле в порожнині дорівнює полю у діелектрику . Розмістивши пробний заряд в такій порожнині і виміривши діючу на цей заряд силу, зможемо знайти поле всередині діелектрика.

У випадку широкого циліндру з малою висотою знов , але . Тоді поле в порожнині дорівнює зовнішньому полю.

Необмежений діелектрик із зарядженою кулею всередині. Нехай простір заповнений діелектриком, в якому знаходиться заряджена куля радіусом , заряд кулі . Знайдемо поле всередині діелектрика на відстані від центру кулі.

Під дією поля заряду діелектрик поляризується, на його поверхні, що межує з кулею, з’являться зв’язані заряди з поверхневою густиною , загальний поляризаційний заряд , який частково компенсує заряд кулі. Таким чином, поле буде утворюватись зарядом і матиме вигляд

.

Для будь-якого значення

,

а отже і для , тобто

.

Тоді

,

де вектор поляризації біля поверхні кулі, поле біля поверхні. Замінивши , одержали добре знайому формулу для поля точкового заряду в діелектрику.

. cистема CGSE

в системі СІ

Куля із діелектрика в однорідному електричному полі. Нехай куля із діелектрика радіусом знаходиться в однорідному електричному полі . Знайти поле всередині кулі.

Куля поляризується, і на її поверхні виникають зв’язані заряди з поверхневою густиною , де кут між нормаллю до поверхні і вектором поляризації (або висотний, азимутальний, кут). В силу сферичної симетрії задачі вектор поляризації буде направлений у напрямку зовнішнього поля, оскільки всі перпендикулярні складові в сумі дадуть нуль.

Задачу можна розв’язати двома способами. Перший спосіб “в лоб”. Поле всередині діелектрика

.

Знайдемо поле зв’язаних зарядів в центрі кулі. Для цього виділимо на поверхні кулі кільце діаметром і шириною . Площа кільця . Оскільки , , то

.

Тоді

.

Проінтегрувавши покуту, маємо

.

Отже, поле в діелектрику

; .

Зверніть увагу, ми шукали поле в середині кулі. Але воно не залежить від радіусу. Отже, діелектрична куля заряджена однорідно.

Інший спосіб розв’язку цієї задачі більш красивий. Замінимо діелектричну кулю на дві кулі, заряджені із сталою об’ємною густиною заряду і . В результаті одержимо нейтральну кулю. Розмістимо тепер ці дві кулі в полі .

Позитивна куля при цьому зміститься за полем, а негативна – проти поля, центри куль розійдуться на відстань . В результаті виникнуть заряди в тих областях, де кулі не співпадають, а там, де співпадають, буде нейтральна область. Візьмемо довільну точку всередині обох куль. З’єднаємо її з центрами куль і позначимо відстані від до центрів через і . Раніше ми одержали формулу для поля всередині однорідно зарядженої кулі

.

Поле об’ємних зарядів у виділеній точці

.

Але , , тоді

.

Нехай об’єм кулі , , де заряд однієї кулі, дипольний момент системи, дипольний момент одиниці об’єму, тобто вектор поляризації. Остаточно поле всередині діелектричної кулі

,

тобто отримали той же самий результат.

Давайте проаналізуємо отриманий результат, виражений через діелектричну проникність. Для плаского конденсатора ми отримали, що введення діелектрику зменшує поле. Бачимо, що це твердження в загальному випадку є невірним. Треба знаходити суму , і результат буде залежати від форми діелектрика.

Сферична порожнина у необмеженому діелектрику. Є необмежений діелектрик з полем в ньому і сферична порожнина, в якій треба знайти поле . На поверхні порожнини виникнуть поляризаційні заряди, і поле у порожнині буде

порівняно із попереднім прикладом зміниться тільки напрямок поля поляризаційних зарядів.

Цю задачу краще розв’язати більш детально, оскільки її розв’язком користуються у теорії поляризації, яку ми будемо розглядати пізніше. Вперше її розв’язав Лоренц у 1879 році. Якщо через позначити полярний кут, який будемо відраховувати від напрямку поляризації як від осі, то густина поверхневого заряду в околі точки, що задається радіус-вектором, направленим під кутом , становить . Поверхневий заряд буде однаковий симетрично відносно осі , тому кільце радіусом і завширшки (тобто із площею ) із зарядом

створить у центрі порожнини поле

.

Ще один з’явився тому, що складові поля вздовж осі поляризації додаються, а перпендикулярні їй – взаємно знищуються. Повне електричне поле у центрі порожнини становитиме

.

Останні зауваження щодо визначення поля у діелектрику. Взагалі присутність діелектрика може як зменшувати, так і збільшувати напруженість поля. На рисунку наведено заряд і діелектрик, розміщений поблизу заряду. Очевидно, в точках 1 і 4 поле складається з полем зв’язаних зарядів , і . В точці 2 всередині діелектрика поле зменшується порівняно з вакуумним випадком через наявність діелектричної речовини з , але не обов’язково в разів. В точці 3 поле протилежне за напрямком полю зв’язаних зарядів , і .

Поиск по сайту: