Поверхневі і об’ємні поляризаційні заряди, їх зв’язок із вектором поляризації

Іншою кількісною характеристикою явища поляризації може бути поверхнева густина зв’язаних зарядів . Оскільки дві фізичні величини характеризують одне й те ж явище, між рими повинен існувати зв’язок. Знайдемо зв’язок між і . Якщо ми розв’яжемо цю задачу, то можемо знаходити величину поляризаційного заряду за відомим вектором поляризації, і навпаки.

Візьмемо однорідне електричне поле напруженістю і помістимо в нього однорідний ізотропний діелектрик у формі косого циліндра, довжина твірної котрого , площа основи , кут між твірною і вектором нормалі до основи . Об’єм цього циліндра

.

Діелектрик у полі поляризується. Нехай твірна циліндру паралельна вектору . Тоді поляризація приводить до появи на поверхні основ зарядів і , де абсолютна величина поверхневої густини зв’язаного заряду на кожній поверхні діелектрика.

Циліндр можна вважати одним великим диполем з моментом . Вектор поляризації в циліндрі буде направлений вздовж вектора . За визначенням дипольного моменту маємо

.

З іншого боку, дипольний момент всього діелектрика можна виразити через вектор поляризації, який, нагадую, є сумарним дипольним моментом одиниці об’єму. Таким чином,

,

звідки

,

а отже

,

де проекція вектору поляризації на вектор зовнішньої нормалі до основи циліндру. Ніхто нам не заважає вважати вектор нормалі одиничним, тому можемо записати, що

,

і, остаточно

.

Отже, поверхнева густина поляризаційних зарядів дорівнює нормальній проекції вектору поляризації. Причому, береться зовнішня нормаль до поверхні. Там, де нормальна проекція вектора поляризації дорівнює нулю, буде дорівнювати нулю і поверхневий заряд . Це спостерігається на бічній поверхні циліндру, де диполі боком лежать на поверхні, і густина позитивних і негативних зарядів однакова, тому . Максимальною величина поверхневого заряду буде там, де вектор поляризації направлений вздовж нормалі до поверхні (наприклад, основи прямого циліндру).

Ми виділяли циліндричний об’єм. Чи не звузили ми задачу? Та ні, такий об’єм можна вибрати будь-яким чином біля довільної поверхні діелектрика.

Поки що ми розглянули поверхневий заряд. То чи варто вводити поняття об’ємного заряду?

Ми вже казали такі слова, що поля диполів всередині діелектрика взаємно компенсуються, тому першочерговий розгляд саме поверхневого заряду є слушним. Але це справедливо тільки для однорідно поляризованих діелектриків. Якщо речовина поляризована неоднорідно, то внутрішньої компенсації полів диполів може не бути. Це може бути, наприклад у речовині із неоднорідним розподілом густини.

Розглянемо таку речовину в електричному полі. Нехай поле однорідне, але густина діелектрику змінюється від точки до точки. Тоді, взявши замкнену поверхню, яка проходить через атоми або молекули речовини, ми знайдемо в ній поляризаційний заряд. Всередині виділеного об’єму негативних зарядів більше, ніж позитивних. Тому можна зробити висновок, що у подібних випадках треба ввести поняття і про об’ємну густину зв’язаних зарядів.

Розглянемо виділений об’єм. Заряди, що знаходяться поза ним, не приймають участь у поляризації виділеного об’єму, лише ті, що знаходяться у виділеному об’ємі. Та й то не всі. Ті заряди, що віддалені від поверхні виділеного об’єму вглиб нього, не приймають участь у поляризації виділеного об’єму теж. Нас цікавлять лише ті. Що визирають на поверхню. На виділеній поверхні позитивний заряд більший, ніж негативний, тобто поляризація буде неоднорідною

Зв’язок між об’ємною густиною заряду та вектором поляризації у цьому випадку можна знайти багатьма способами. Ми скористаємось таким.

Помістимо неоднорідний діелектрик в електричне поле. Виділимо у ньому об’єм , що знаходиться у точці з координатами . Діелектрик поляризується, і в ньому виникають зв’язані заряди в об’ємі. Нехай вектор поляризації має складові . Кількість поляризаційного заряду на грані з координатою становить . Кількість поляризаційного заряду на грані з координатою становить . Тобто поляризаційний заряд у виділеному об’ємі зміниться. Приріст заряду становитиме

.

Аналогічно можна визначити і приріст об’ємного заряду по інших осях. Тоді повний приріст заряду в об’ємі за рахунок поляризації становить

.

З іншого боку, поляризаційний заряд у виділеному об’ємі дорівнює . Тому можна записати

.

Звідси маємо, що густина об’ємного поляризаційного заряду дорівнює з протилежним знаком дивергенції вектора поляризації

.

Відмітимо, що одержаний вираз є більш загальним, ніж , і стверджує, що зв’язаний заряд з’являється завжди, коли є неоднорідність. Це може бути неоднорідність густини у об’ємі. Там буде локалізований об’ємний зв’язаний заряд. А може бути границя діелектрика з вакуумом або з іншим діелектриком. Саме там локалізований поверхневий зв’язаний заряд. Із формули граничним переходом можна одержати .

Справді, візьмемо діелектрик і помістимо його в електричне поле. Він поляризується. Виберемо циліндричний об’єм поблизу поверхні діелектрика з площею поверхні . У ньому міститься кількість поляризаційного заряду . Запишемо повний поляризаційний заряд за об’ємною формулою:

і скористаємось формулою Остроградського

.

Якщо діелектрик однорідно поляризований, то весь заряд у виділеному об’ємі (як і в усьому діелектрику) скупчиться на поверхні, і його можна записати як

.

Порівнявши два останні вирази, маємо , що й треба було довести.

Хай вас не хвилює знак “мінус”. Він означає, що потік через площадку вектора напруженості електричного поля поляризаційного заряду протилежний потоку вектора напруженості електричного поля зовнішнього поля.

Поиск по сайту: