Вектор намагнічування і його зв’язок з молекулярними струмами

Тепер перейдемо до кількісної характеристики намагнічування магнетика. Кожний атом чи молекула або має власний магнітний момент , або набуває цей момент в магнітному полі (у випадку діамагнетиків). Подібно до того, як для діелектриків вводиться вектор поляризації – сумарний дипольний момент одиниці об’єму (де дипольний момент окремого атому), для магнетиків вводиться вектор намагнічування . Вектор намагнічування це сумарний магнітний момент всіх атомів або молекул магнетика в його одиниці об’єму

,

де сума береться по одиниці об’єму. Оскільки вектор намагнічування може змінюватись від точки до точки, можна виділити всередині магнетику малий об’єм , у межах якого вектор намагнічування залишається сталим, скласти магнітні моменти атомів або молекул всередині цього об’єму і одержати магнітний момент

.

Тоді

.

Таким чином, вектор намагнічування є об’ємною густиною магнітного моменту магнетика.

Як я вже сказала, магнітні властивості речовини обумовлені молекулярними струмами. Тому необхідно знайти зв’язок вектора з характеристиками молекулярних струмів. Тут знову можна провести аналогію з діелектриками, для яких вектор поляризації пов’язаний з поверхневою та об’ємною густиною поляризаційних зарядів.

Розглянемо спочатку магнетик у формі нескінченно довгого стрижня, зовнішнє магнітне поле будемо вважати однорідним і направленим вздовж осі стрижня.

Молекулярні струми будуть повертатися у просторі таким чином, щоб їх магнітні моменти намагалися орієнтуватися паралельно вектору , оскільки енергія

буде мінімальною саме при такій орієнтації. Переріз циліндру наведено на наступному рисунку, де зображені також молекулярні струми. Якщо магнетик однорідний, то всередині його об’єму молекулярні струми компенсують один одного.

На поверхні стрижня такої компенсації немає, по цій поверхні протікає некомпенсований молекулярний струм. Він є джерелом додаткового магнітного поля магнетика. Кількісною характеристикою молекулярного струму є його сила, віднесена до одиниці довжини твірної циліндру, тобто лінійна густина поверхневого струму (зверніть увагу, одиниця у індексі означає, що густина струму є не площинною, тобто не на одиницю площі перерізу, а на одиницю довжини).

Щоб знайти зв’язок вектору намагнічування з , виділимо в стрижні елементарний циліндр з твірною . Магнітний момент цього циліндру

,

де площа перерізу стрижня площиною, перпендикулярною до його осі.

З іншого боку, вважаючи молекулярний струм, який тече по ділянці , коловим, маємо його момент (згадайте, ми його вводили як силу кільцевого струму, помножену на площу витка)

.

Звідси випливає, що

,

тобто у розглянутому досить частинному випадку величина вектору намагнічування чисельно дорівнює лінійній густині молекулярних поверхневих струмів. (Аналогічно у діелектриків – вектор поляризації чисельно дорівнює густині поверхневого заряду ). Повторивши всі розрахунки в системі СІ, маємо

,

де магнітна стала.

Якщо ввести орт нормалі до бічної поверхні циліндру, тоді, можна переписати отриманий вираз у векторній формі. Оскільки вектор намагнічування направлений вздовж осі стрижня за напрямком магнітного поля, а лінійна густина поверхневого молекулярного струму вздовж дотичної до кола, перпендикулярного осі стрижня, то

.

Одержаний вираз справедливий і тоді, коли магнітне поле не паралельне осі стрижня. У цьому випадку магнітні моменти атомів або молекул і вектор намагнічування будуть також орієнтовані паралельно . Виберемо косокутний циліндр з площею основи і об’ємом

,

де кут між віссю циліндру і векторами і , кут між ортом нормалі до бічної поверхні і напрямком поля (намагнічування). Тоді

,

а, з іншого боку,

,

звідки

,

де складова вектору намагнічування вздовж твірної циліндру, або можна записати у векторній формі

.

Одержаний зв’язок між і справедливий для однорідно намагніченого магнетику. Якщо намагніченість неоднорідна, то в об’ємі магнетику не буде повної компенсації молекулярних струмів, некомпенсований струм можна кількісно характеризувати об’ємною густиною молекулярного струму . Для того щоб знайти зв’язок між і , візьмемо всередині неоднорідно намагніченого магнетика замкнутий контур. Він охоплює поверхню площею . Знайдемо силу молекулярного струму , який проходить через цю поверхню. Очевидно, що

,

де орт нормалі до поверхні. Розглянемо молекулярні струми, які перетинають цю поверхню. Якщо молекулярний струм перетинає поверхню два рази (в центрі рисунку), то його вклад до молекулярного струму буде нульовий (напрямок раз буде співпадати із напрямком нормалі, а раз буде протилежний, а за абсолютною величиною – однаково). Якщо ж молекулярний струм охоплює контур, то він перетинає поверхню лише один раз і може дати вклад до .

Тепер оточимо контур нескінченно вузькою трубкою. По поверхні цієї трубки будуть циркулювати молекулярні струми, їх лінійна густина , де складова вектору намагнічування вздовж контуру.

Підсумовуючи ці струми вздовж всього контуру, ми врахуємо всі ті молекулярні струми, які охоплюють контур, один раз перетинають поверхню, оточену контуром, і, отже, дають внесок до .

Таким чином,

.

Порівнявши вирази для молекулярних струмів, маємо

.

Застосуємо формулу Стокса до лівої частини одержаного виразу

.

Отже,

.

Оскільки і контур, і поверхня, яку він оточує, довільні, то

.

Це і є шуканий зв’язок об’ємної густини молекулярних струмів і вектору намагнічування.

Поверхня будь-якого магнетику також є неоднорідністю (порівняно із об’ємом), тому до неї можна застосувати одержаний вираз. Розглянемо пласку межу поділу між двома магнетиками 1 і 2. Позначимо через і кути, які утворюють вектори і з нормаллю до поверхні розділу. Виберемо на межі поділу магнетиків контур у вигляді прямокутника із сторонами і , причому сторона паралельна до межі поділу.

Тоді сила молекулярного струму через поверхню, охоплену контуром,

.

Спрямувавши , маємо силу молекулярного струму

,

де відповідно лінійні густини молекулярних поверхневих струмів на межі магнетиків 1 і 2. Звідси

,

або у векторній формі

.

Якщо один з магнетиків відсутній, тобто маємо межу магнетик-вакуум, одержимо

.

Поиск по сайту: