Заміна загального представлення функцій значеннями окремих типових ланок

Відповідно до (5.4) , а ; відповідно до (5.19) W ₂(p) = е^{- p t}; відповідно до (5.2) W ₃(p) = k ₂; відповідно до (5.10) . Передавальна функ­ція складної системи дорівнює

W (p) = ( + k ₂)/[1 + ( + k ₂) ]. (5.27)

6 Методика виконання завдання № 6 [1, 2]

ЗНАЙТИ КІЛЬКІСТЬ ДОРІЖОК КОДОВОГО ДАТЧИКА, ЩОБ ВІН ПРАЦЮВАВ ІЗ ЗАДАННОЮ ТОЧНІСТЮ

В теперішній час найбільш перспективними для вимірювання переміщень є магнітні зубчасті, циклічні датчики з сінус-косінусними і лінійними індукційними перетворючами, фотоелектричні з дифракцій­ними ґратками і датчики з вимірювальними дисками, кодовими масками.

Для вимірювання лінійних переміщень використовують магнітний зубчастий датчик (рис. 6.1). Датчик складається із магнітної шкали 1 із зубцями кроку p ₁ і магнітної головки, що виконана з двох П-подібних осердь 4 і 6, на кінці яких нанесені зубці кроку p ₂, який від­повідає умові

p ₂ = p ₁ /K,(6.1)

де K -ціле число.

Зубці одного із осердь головки розташовані із зсувом відносно зубців другого осердя на половину кроку нарізки. На осердях намотана обмотка 5, що намагнічує і дві вихідні обмотки 2 і 7, що підключені через випрямлячі з ємнісними фільтрами 3 і 8 за диференцій­ною схемою до навантаження 9. При відносному переміщенні шкали 1 і магнітної головки провідність в магнітних колах між осердями і шкалою змінюється з періодом, що відповідає кроку нарізки осердь.

Рис. 6.1. Схема магнітного зубчастого датчика лінійного перемі­щен­ня (а) і залежність вихідного сигналу датчика від переміщення магнітної шкали (б): 1 - магнітна шкала; 2, 7 - вихідні обмотки; 3, 8 - випрямлячі; 4, 6 - П-подібні осердя; 5 - обмотка, що намагнічує; 9 - навантаження

Магнітний потік Ф ₁, що утворюється первиною обмоткою, перерозподіляється від­по­від­но магнітним провідностям g_М2 і g_М3 осердь 4 і 6. Магнітні пото­ки, що пересікають вторіні об­мот­ки голов­ки, відповідно дорів­нюють

Ф ₂ = Ф ₁ g _М2 /(g_М2 + g_М3 ) 6.2)

і

Ф ₃ = Ф ₁ g_М3 /(g_М2 + g_М3).(6.3)

У вторинних обмот­ках маг­нітної головки наводяться ЕРС, що пропорційні зміненню маг­нітних потоків Ф ₂ і Ф ₃ і зміщені відносно один одного. Після випрямляння і віднімання сиг­налів з урахуванням рівності ста­лих складових ЕРС на виходах 3 і 8 отримаємо

Е = Е ₂(D L) - E ₃(D L), (6.4)

де Е₂ (D L), Е ₃(D L) - зміні складові ЕРС на виходах випрямлячів 3 і 8, що залежать від пере­міщення D L магнітної шкали 1.

Після розкладання у ряд Фур’є функцій Е ₂(D L) і Е₃( D L), що є парними і зсунутими від­носно одна одної наp, на навантажені 9 отримаємо сигнал

L = 0,5(а _О2 - а _О3) + а_{n 2}cos nj - (-1)ⁿ a_{n 3}cos n j. (6.5)

Тут j = 2p D L/p _2.

Припускаючи, що амплітуди гармонік функцій Е ₂(D L) і E₃ (D L) дорівнюють одна од­ній, тобто а_n = a_{n 2} = a_{n 3},..., a ₁= a ₁₂ = a ₁₃, a₀ = a_{0 2} = a_{0 3},

при зміні n = 1... ¥, отримуємо

L = 2(a ₁cosj + a ₃co s 3j +...). (6.6)

Графічна залежність результатного сигналу від величини переміщення наведена на рис. 6.1, б. Як видно із графіку, нульові значення вихідного сигналу зміщені один від одного на половину кроку p ₂. Ціна ділення 0,02 мм.

Рисунок 6.2. Схема фотоелектричного датчика з дифракційними ґратками (а) і залежність освітленості фотоелементів від переміщення ру­хомої ґратки (б): 1 - джерело монохроматичного випромі­нювання; 2 - нерухома лі­ній­ка; 3 - рухома лінійка; 4, 6 - фотоелементи; 5 -дзеркальна призма

Для підвищення точності виміру лінійних переміщень використовують лінійні фото­електричні датчики з дифракційними ґратками (інтерферометри). Джерело монохроматич­но­го випромінювання 1 (рис. 6.2) просвічує дві дифракційні ґратки у вигляді нерухомої 2 і рухомої 3 лінійок під час роботи датчика. Ґратки виконані із пластин скла, на які нанесені риски у вигляді смуг золота з кроком, величина якого становить від 1 до 10 мкм. Риски на­носять на лінійку 2 перпендикулярно, а на лінійку 3 під деяким кутом до напрямку руху об’єкта виміру. При русі об’єкта разом з ним переміщується лінійка 3, фото­елементи 4 і 6 сприймають світ­ло­вий потік у вигляді темних і світлих смуг (муарові смуги пере­міщуються вверх або вниз в залежності від напрямку руху від­повідно праворуч або ліворуч лінійки 3).

Фотоелемент 4 перетворює муарові смуги в електричні ім­пульси, які є джерелом інфор­ма­ції. Фотоелемент 6 призначено для визначення напрямку руху об’єкта. Ціна ділення 0,5 мкм.

Для виміру кутових і ліній­них переміщень з великою точ­ністю часто використовують трансформатори, що обертають­ся (індуктосини), які уявляють собою елект­рич­ну мікромашину змінного стру­му з двофазними обмотками на роторі і статорі. Трансформа­тори, що оберта­ють­ся перетво­рюють кут оберту ротора в зміну амплітуди або фази синусоїдальної напруги.

Рисунок 6.3. Схеми датчика лінійного індукто­сина (а) і його підключення (б): 1 - лінійка; 2 - головка; 3, 4 - роторні об­мот­ки; 5 - статорні обмотки

Трансформатори, що обер­таються, можуть працювати в режимах фазообертовому або синусно-косинусному. В режимі фазообертовому в первинні обмотки трансформатора, що оберта­ється, подають два сигнали синусоїдальної фор­ми, однакові за амплітудою, але зсу­нуті за фазою один відносно одного на p/2. При цьому у вто­рин­ній обмотці індукується ЕРС, фаза якої змі­нюється лінійно в залежності від кута оберту. У синусно-косинусному режимі на виході транс­фор­матора, що обертається формуються синусо­їдальні коливання, що зсунуті на p/2, амплітуда яких пропорційна куту оберту ротора. Трансфор­матори, що обертаються мають клас точності 0,02; 0,05 і 0,1.

Індуктосини це багато полюсні трансфор­ма­то­ри (без магнітних осердь), обмотки яких вико­нані фотохімічним методом. Статорна обмотка індук­тосина виконується у вигляді лінійки 1 (рис. 6.3), по якій ковзає головка 2 (роторна обмот­ка). На лінійці і головці нанесені друкувальним способом обмотки 3, 4 і 5. Роторні обмотки 3 і 4 зсунуті одна відносно другої на 1/4 кроку. При живлені однієї обмотки сину­соїдальною напругою з частотою порядку 10 кГц на другій обмотці індукується ЕРС, що зміщена на p/2. Між головкою і лінійкою виникає рухоме маг­нітне поле, яке індукує на статорній обмотці 5 лінійки ЕРС, фаза якої визначається віднос­ним лінійним переміщенням лінійки і головки. Точність ± 2,5 мкм на довжині 250 мм і більше.

Всі розглянуті датчики відносяться до циклічних. Циклічні датчики формують значен­ня, що періодично повторюються. При цьому вимі­ряний параметр перетворюється у часо­вий інтервал. Такі датчики звичайно складаються з двох пристроїв: точного і грубого відліку. Пристрої точного відліку багаторазово повторю­ють цикл виміру за один оберт, що вносить неоднозначність у вимірювання кута повороту вала двигуна. Для усунення неоднозначності і визначення абсолютного значення параметра використовують пристрій грубого відліку, який проводить підрахунок кількості повних циклів роботи датчика від нульової позначки.

До нециклічних датчиків відноситься кодовий датчик. Кодовий датчик складається із кодової лінійки (диска), освітлювальної лампи, блока фотодіодів і комбінованого блока. Він призначається для перетворення лінійних (кутових) переміщень у двійковий код і передачі його в автоматичну систему керування (АСК).

Датчик працює так: промінь світла від джерела попадає на кодову лінійку (диск) (рис. 6.4), проходить крізь прозорі ділянки, попадає в блок фотодіодів. Фотодіоди 1...6 формують сигнали 1 і 0. Кодовий диск виконується фотохімічним способом в двійковому рефлексному коді і складається із n доріжок. Величина n визначається необхідною точністю виміру параметра.

Рис.6.4. Кодова лінійка: 1...6 – фотодатчики

Так, при заданій похибці перетворення в 0,1 % кіль­кість ділень шкали кодового диска дорівнює 1000. Останній складається із 10 концентрично розташованих доріжок (2¹⁰ = 1024 > 1000).

Зчитування інформації з фотодатчиків проходить у вигляді сигналів коду Грея або двійково-десяткового коду за один такт. На схемі прямокутниками позначено розташу­вання фотоелементів 1, 2 і 3 для отримання двійкового коду. Код Грея часто будується з викорис­танням кодової маски двійкового коду. Для цього фо­то­елементи зсувають відносно лінії зчитування двійково­го коду у бік його збільшення на відстань, що дорівнює половині кодової ділянки кожного розряду 4, 5 і 6. Можлива також реалізація вдвічі біль­шої у порівнянні з двійковим кодом кількості кодових комбінацій без збільшення розряд­но­сті кодової маски. Для цього використовують додатковий (n +1)-й чутливий елемент, який розташовується відносно світлочутливого елемента n -го розряду на відстані половини ко­дової ділянки у бік її зменшення на тій же n -й кодовій доріжці. Таке розташування фотоеле­ментів дозволяє отримати чотирьохрозрядний код Грея на трирозрядному розверстуванні двійкового коду. Використання коду Грея в перетворювачах кутових і лінійних переміщень обумовлено тим, що вдається ліквідувати неоднозначність зчитування без збільшення кіль­кості фотоелементів у порівнянні з іншими кодами і тим самим досягнути високої розв’я­зуючої здатності. Всі датчики з кодовими масками мають недоліки: жорсткі вимоги до до­пусків і відносно великий час перетворень.

Циклічні датчики формують значення, що періодично повторюються. При цьому вимі­ряний параметр перетворюється у часовий інтервал. Такі датчики звичайно складаються з двох пристроїв: точного і грубого відліку. Пристрої точного відліку багаторазово повторю­ють цикл виміру за один оберт, що вносить неоднозначність у вимірювання кута повороту вала двигуна. Для усунення неоднозначності і визначення абсолютного значення параметра використовують пристрій грубого відліку, який проводить підрахунок кількості повних циклів роботи датчика від нульової позначки.

Знаходження кількості доріжок кодового датчика, щоб він працював із заданою точністю, складається із таких етапів:

1. Знаходиться кількість ділень шкали, що відповідає необхідній точності.

2. Знаходяться ступені двійкового числа, між якими знаходиться визначена кількість ділень.

3. Вибирається більша ступінь, яка дорівнює необхідній кількості доріжок.

ПРИКЛАД. Знайти кількість доріжок кодового датчика, щоб він працював з точністю 0,02 %.

1. Знаходження кількості ділень шкали

1 % відповідає 100 діленням шкали

0,02 % потребує кількістьділень шкали у 1:0,02 разів більшу

Кількість ділень становить 100 ´ (1:0,02) = 5000

2. Знаходження ступенів двійкового числа

2¹² = 4096 < 5000< 2¹³ = 8192

3. Відповідь: при зчитуванні інформації у двійковому коді мінімальна кількість доріжок становить 13, при зчитуванні інформації у коді Грея мінімальна кількість доріжок становить 12.

7 Методика виконання завдання № 7 [5]

ВИЗНАЧИТИ СТІЙКІСТЬ СИСТЕМИ ЗА ЗАДАНИМ ХАРАКТЕРИСТИЧНИМ РІВНЯННЯМ

Під стійкістю системи розуміють спроможність системи відновлювати вихідний (або практично близький до нього) стан після будь-якого збурення, який приводить до відхилен­ня параметрів системи від номінального значення (рис. 7.1, а).

Поняття стійкість, як і поняття рівноваги, може відноситись як до нерухомого стану тіла або системи (стійкість положення) так і до стану руху (стійкий і нестійкий рух).

Нейтрально стійкі динамічні системи характеризуються тим, що при порушенні первіс­ного стійкого стану, система після зняття збурення не повертається до цього початкового стану, але і не віддаляється від нього (рис.7.1, в).

а б в

Рисунок 7.1. Фізична модель стійкості систем:

а - стійка; б - нестійка; в - нейтрально стійка

Розрізнюють стійкість в “малому” і “великому”

При певних умовах стійка в “малому” система може виявитись нестійкою в “великому”.

Перехідний процес в АСР залежить як від властивостей самої системи, так і від виду збурення, і включає в себе дві складові – вільні коливання в системі х _в (t), які визначаються початковими умовами і внутрішніми властивостями самої системи; вимушені коливання х _вм (t), які визначаються впливом збурення.

х (t) = х _в(t) + х _вм(t) (7.1)

Оскільки стійка система після припинення дії збурення повертається до сталого стану, то математичною умовою стійкості є вираз . Таким чином, характер віль­ного руху системи визначає ступінь її стійкості. Оскільки вільний рух системи можна опи­сати диференційним рівнянням, то і стійкість системи регулювання можна оцінити, вирі­шив­ши відповідне диференційне рівняння. Якщо стійкість системи регулювання можна оцінити за допомогою лінійних диференційних рівнянь, то її називають стійкістю в “мало­му”. Межі відхилення координат, у тому числі регульованої координати від положення рів­но­­ваги, в даному випадку не розглядаються, а ставлять лише умови достатньої малості цих відхилень.

Вільний рух системи описується характеристичним рівнянням

а _о р^п + а ₁ р^{п - 1} +...+ а_{п -1} р + а_п = 0, (7.2)

де а _о > 0; р - комплексне число.

Умови, при яких можна досліджувати залежність результатів рішення лінійної системи і стійкості в “малому” без ризику отримати невірну відповідь, були обґрунтовані А.М. Ляпуновим доказом наступних двох теорем:

1. Якщо всі корені характеристичного рівняння лініарізованої системи, мають від’ємні дійсні частини, то нелінійна система, так само як і лініарізована, буде стійка при малих від­хиленнях незалежно від відкинутих при лініарізації рівняння членів другого і більш висо­ких ступенів відхилення.

2. Якщо серед коренів характеристичного рівняння лініарізованої системи, є хоча б один корінь з додатною дійсною частиною, то нелінійна система, так само як і лініарізо­ва­на, буде нестійкою незалежно від відкинутих при лініарізації рівняння членів другого і більш високих ступенів відхилення.

Якщо серед коренів характеристичного рівняння лініарізованої системи, є хоча б один корінь з нульовим значенням дійсної частини або чисто уявні корені, а всі інші корені мають від’ємну дійсну частину, то визначити стійкість нелінійної системи за лініарізова­ним рівнянням не можна.

а б в

Рисунок 7.2. Стійкість лініарізованих систем:

а - стійка; б - нестійка; в - нейтрально-стійка;

- корені характеристичного рівняння р ₁ ... р ₅

Вісь і - межа стійкості. В нейтрально-стійкої системі - прямує не до нуля, а до деякої постійної величини.

Існують правила, які дозволяють судити про стійкість АСР, не вирішуючи громіздке диференційне рівняння - критерії стійкості.

Критерії стійкості підрозділяють на алгебраїчні і частотні. До перших відноситься кри­терій Рауса-Гурвиця, до других - критерії Михайлова і Найквиста.

Поиск по сайту: