Системы счисления

Позиционные и непозиционные системы счисления

Одно и то же число можно представить по-разному. Например, число четыре можно представить в виде слова “четыре”, изобразить его по-древнеримски – IV, или договориться, что число обозначается соответствующим количеством палочек – |.

Способ представления чисел называется системой счисления. Системы счисления бывают двух видов – позиционные, в которых числовое значение каждой цифры в число зависит от ее номера разряда (позиции) в записи числа, и непозиционные – все остальные. Примером позиционной системы является общепринятая десятичная система: число состоит из трёх троек (333), но каждая цифра имеет разное числовое значение 3,30,300. Непозиционной – римская: Х означает 10, запись ХХ означает 20, т.е. каждая цифра имеет одно и то же числовое значение Х(10)+Х(10).

Представление целых неотрицательных чисел

В позиционных системах значение записи целого числа определяется по следующему правилу: пусть a_na_n-1a_n-2…a₁a₀ — запись числа A, а_i – цифры, тогда

где p — целое число большее 1, которое называется основанием системы счисления.

Для того, чтобы при заданном p любое неотрицательное целое число можно было бы записать по формуле (1) и притом единственным образом, числовые значения различных цифр должны быть различными целыми числами, принадлежащими отрезку от 0 до p-1.

Пример:

1) Десятичная система: p = 10, цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Число 3635 = 3·10³ + 6·10² + 3·10¹ + 5·10⁰

2) Троичная система: p = 3, цифры: 0,1,2.

Число 121₃ = 1·3² + 2·3¹ + 1·3⁰

Замечание: нижним индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел

Во всех позиционных системах для записи отрицательных чисел, так же как и в десятичной системе используется знак ‘–‘. Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Значение записи числа A определяется по формуле, являющейся обобщением формулы (1):

Пример:

36,7₁₀ = 3·10¹ + 6·10⁰ + 7·10^–1

–3, 214 ₅ = –(3·5⁰ + 2·5^–1 + 1·5^–2 + 4·5^–3)

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную с/с.

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную с/с.

Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему, для этого представим число 23,5 в виде суммы степеней числа 8.

Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8¹+7·8⁰+4·8^–1 =27,4₈.

В общем случае применяется способ перевода отдельно целой и дробной частей числа. Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм, полученный на основании формулы (1):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток будет очередной цифрой a_i (i=0,1,2 …) записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе - пункт 1.

Замечание 1. Цифры a_i в записи числа нумеруются справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10, обычно это латинские буквы.

Пример:

Перевести число 165₁₀ в семеричную систему счисления.

165: 7 = 23 (остаток 4) => a₀ = 4 (цифра 0 разряда)

23: 7 = 3 (остаток 2) => a₁ = 2 (цифра 1 разряда)

3: 7 = 0 (остаток 3) => a₂ = 3 (цифра 2 разряда)

Выпишем результат: a₂a₁a₀, т.е. 324₇.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода:

324₇=3·7²+2·7¹+4·7⁰=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165₁₀.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2):

1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной цифрой a_m (m = –1,–2, –3 …) записи числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

Замечание 1. Цифры a_m в записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2. Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма.

Пример 1: Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления.

0,625·2 = 1,25 (дробная часть 0,25; целая часть 1) => a_–1 =1

0,25·2 = 0,5 (дробная часть0,5; целая часть 0) => a_–2 = 0

0,5·2 = 1,00 (дробная часть 0,0 – перевод закончен; целая часть 1) => a_–3 = 1

Итак, число 0,625₁₀ = 0,a_–1 a_–2 a_–3 = 0,101₂

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода:

0,101₂=1·2^–1 + 0·2^–2 + 1·2^–3=1/2 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625.

Пример 2: Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами.

0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a_–1=0

0,66·4 = 2,64 (целая часть 2) => a_–2= 2

0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a_–3= 2

0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a_–4= 2

Итак, 0,165₁₀ ≈ 0,0222₄

Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что абсолютная погрешность не более 4^–4:

0,0222₄ = 0·4^–1+2·4^–2+2·4^–3+2·4^–4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4^–4 = 0,00390625.

Перевод чисел из одной произвольной системы в другую

В этом случае сначала следует выполнить перевод числа в десятичную систему, а затем из десятичной - в требуемую.

Особым способом выполняется перевод чисел для систем с кратными основаниями.

Перевод чисел в систему счисления с кратным основанием

Пусть p и q – основания двух систем счисления. Будем называть эти системы системами счисления с кратными основаниями, если p = qⁿ или q = pⁿ, где n – натуральное число. Так, например, системы счисления с основаниями 2 и 8 являются системами счисления с кратными основаниями, т.к. 8 = 2³, а системы 4 и 8 не являются кратными, т.к. 8 ≠ 4ⁿ

Пусть p = qⁿ и требуется перевести число из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p. Разобьем целую и дробную части записи числа на группы по n последовательно записанных цифр влево и вправо от запятой. Если количество цифр в записи целой части числа не кратно n, то надо дописать слева соответствующее количество нулей. Если количество цифр в записи дробной части числа не кратно n, то нули дописываются справа. Каждая такая группа цифр числа в старой системе счисления будет соответствовать одной цифре числа в новой системе счисления. В таблице 1 приведены значения цифр в наиболее часто используемых системах счисления.

Таблица 1

Пример: Переведем 1100001,111₂ в 4-ную систему счисления.

Дописав нули и выделив пары цифр (так как основание 4 можно представить в виде степени основания 2, это 2 во 2 степени), получим 01 10 00 01, 11 10₂.

Теперь выполним перевод отдельно каждой пары цифр, пользуясь пунктом «Перевод чисел из одной произвольной системы в другую» или таблицей 1:

01₂=1₁₀=1₄

10₂=2₁₀=2₄

00₂=0₁₀=0₄

01₂=1₁₀=1₄

11₂=3₁₀=3₄

10₂=2₁₀=2₄

Итак, 1100001,111₂ = 01 10 00 01, 11 10₂ = 1201,32₄.

Пример: Переведем 1100001,111₂ в 8-ную систему счисления.

Дописав нули и выделив тройки цифр (так как основание 8 можно представить в виде степени основания 2, это 2 в 3 степени), получим 001 100 001, 111 ₂.

Теперь выполним перевод отдельно каждой тройки цифр, пользуясь пунктом «Перевод чисел из одной произвольной системы в другую» или таблицей 1:

001₂=1₁₀=1₈

100₂=4₁₀=4₈

001₂=1₁₀=1₈

111₂=7₁₀=7₈

Итак, 1100001,111₂ = 01 100 001, 111₂ = 141,7₈.

Пусть теперь требуется выполнить перевод из системы с большим основанием q, в систему с меньшим основанием p, т.е. q = pⁿ. В этом случае одной цифре числа в большей системе счисления соответствует n цифр числа в меньшей системе счисления.

Пример: Выполним проверку предыдущего перевода числа. Заменим каждую цифру восьмеричного числа тремя цифрами двоичного:

1 4 1, 7 ₈ = 001 100 001, 111 ₂ = 1100001,111₂

Двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная системы счисления.

В какой системе счисления лучше записывать числа – это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используются только две цифры 0 и 1, которые можно представить двумя легко различимыми состояниями “нет сигнала ” и “есть сигнал”.

Человеку, напротив, неудобно иметь дело с двоичными записями чисел из-за того, что они более длинные, чем десятичные и в них много повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости работать с машинными представлениями чисел используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Основания этих систем – целые степени двойки, и поэтому числа легко переводятся из этих систем в двоичную и обратно.

В шестнадцатеричной системе 16 цифр, поэтому для обозначения цифр после 9 используют первые шесть букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Их десятичные числовые значения - 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

Пример: Переведем число 110101001010101010100,11₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Воспользуемся кратностью оснований систем счисления (16=2⁴). Сгруппируем цифры по четыре, дописав слева и справа нужное количество нулей, и, сверяясь с таблицей 1, получим:

110101001010101010100,11₂ = 1A9554,C₁₆

Арифметические действия с числами в одной системе счисления.

При сложении чисел в одной системе надо иметь в виду, из каких цифр получаем число 10, например,

в 2-ной системе 1₂+1₂=10₂,

в 3-ной системе 2₃+1₃= 1+2= 1+1+1= 10₃,

в 8-ной системе 1₈+7₈ = 2+6=…=5 +3 =10₈, и т.д.

При сложении чисел по разрядам, если сумма цифр данного разряда равна или больше 10_n, то в этом разряде оставляем цифру единиц, а старший разряд увеличиваем на 1.

Пример: сложим два 16-ричных числа DA6 и F1C.

Складываем одноимённые разряды, если сумма цифр данного разряда равна или больше 16, то в этом разряде оставляем цифру разности суммы цифр и 16, а старший разряд увеличиваем на 1.

0) 6+C= (6+12)₁₀=18₁₀=(16+2)₁₀=10₁₆+2₁₆= 12₁₆ (2 оставим в младшем разряде, а 1 переносим в старший разряд)

1) А+1 = (10+1)₁₀ + 1 = (12)₁₀ = С₁₆ (12 это цифра С шестнадцатеричной системы)

2) D+F =(13+15)₁₀ =(28)₁₀ =(16 +12)₁₀ =1С₁₆ (12 это цифра С₁₆, а в старший разряд переносим 1)

DA6 + F1C = 1СС2₁₆

При вычитании чисел, занятая единица из старшего разряда имеет числовое значение десятка данной системы счисления в младшем разряде.

Например: 10₂ - 1₂ =1₂; 110₂ – 1₂ = 101₂; 110₈ – 5₈ = 103₈ (из 0 вычесть 5 нельзя, занимаем из старшего разряда единицу, она в младшем разряде становится 10, 10₈ – 5₈ = 3₈ ); 110₈-15₈=63₈.

Умножение и деление чисел производится аналогично, используя таблицу умножения цифр данной системы счисления, например, 16-ричной (фрагмент таблицы):

Поиск по сайту: