Функций

Единице.

у′ =________________; в′ =_____________

3. (ax)′=a. Постоянный множитель можно выносить

За знак производной.

(13х)′=13; (¶х)′= ¶; (-¼х) ′ = -¼; (√2х)′ = √2

(101х)′ = __________

(-56х)′ = __________

(⅞х) ′ = __________

(√8х) ′ = _________

4. (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹

(х⁶)′=6х⁵; (3х⁴)′ = 3·4х³ = 12х³;

(-¼х⁴)′ =-¼·4 х³=- х³

(Х²¹)' = _______________

(10х⁴)' = _______________

(-⅓х³)' = _______________

(Х^1/2)' = _______________

5. (u+v)′=u′+v′

(3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

(5х²+8х-10)'=(5х²)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

(х⁴-х⁹)'= (х⁴)' – (х⁹)'= 4х³ – 9х⁸

(3х² – 6х)' = _______________________________________________________

(х³+ 4х¹⁰⁰-1)' = _____________________________________________________

(3х⁴-7х³+2х²+¶)'=___________________________________________________

6. (u·v)′=u′·v+u·v′

1. (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·(х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

2. ((х²-х)(5х-8))'= (х²-х)'·(5х-8) + (х²-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х²-х)5= 10х²-21х+8+5х²-5х= 15х²-26х+8

((х+5)(х+7))'=___________________________________________________________

_______________________________________________________________________

((х²-2)(х⁷+4))'=__________________________________________________________

_______________________________________________________________________

7. (u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

(х²/(х+3))'= ((х²)'·(х+3) - х²·(х+3)')/(х+3)²=

=(2х(х+3)-х²)/(х+3)²=(2х²+6х-х²) /(х+3)²=(х²+6х) /(х+3)²

((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________

______________________________________________________________________

((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________

_______________________________________________________________________

Проверь себя

Производные тригонометрических

функций

— (sinx)′=cosx

— (cosx)′=-sinx

— (tgx)′=1/cos²x

— (ctgx)′=-1/sin²x

(2sinx)′=2cosx; (x+2cosx)′=1-2sinx;

(1/2tgx)′=1/2cos²x; (сosx-tgx)′=-sinx-1/cos²x

(2tgx-sinx)′=2/cos²x-cosx

(tgx+11) '= _____________________________________________________________

(cosx- sinx) '=___________________________________________________________

(5sinx+2х) '= ___________________________________________________________

(Ctgx+2х³) '= ___________________________________________________________

(2sinx+ cosx-3)'= ________________________________________________________

(tgx +3 cosx)'= __________________________________________________________

(-sinx+х³) '= ____________________________________________________________

(2cosx-5х⁴+2х+1) '= ______________________________________________________

Установи соответствие

1.Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х₀):

Решение: f(х) =х², х₀=-4

К= f '(х₀); f '(х)=2х; f '(х₀)= f '(-4)=2·(-4)=-8, т.е. к=-8

1. f(х)=1⁄х, в х₀=- 1⁄3 ______________________________________________

________________________________________________________________

2. f(х)= sinx, в х₀ = ¶⁄3_____________________________________________

______________________________________________________________

3. f(х)= 3х³ – 2х +1, в х₀₌1 __________________________________________

________________________________________________________________

2. Найдем тангенс угла касательной к кривой у=1⁄2 х² с осью Ох, в точке х₀=1.

Решение: tgα=у'(х₀); у'(х)=(1⁄2 х²)'=х; у'(х₀)= у'(1)=1, т.е. tgα=1; α=¶⁄4

1. у= х² при х₀=√3⁄2 ________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. f(х)=1⁄3 х³, х₀=1 ________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Найдем уравнение касательной к графику функции у=1⁄3 х²-2в точке с абсциссой х₀₌3.

Решение: Находим уравнение касательной у=у(х₀)+у'(х₀)(х-х₀)

у(х₀)=у(3)= 1⁄3 ·3²-2=1; у'(х)= (1⁄3 х²-2)'=2⁄3 х; у'(х₀)= у'(3)= 2⁄3 ·3= 2

у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5; т.е. у=2х-5 – уравнение касательной

1. f(х)=3х²-5х+4, в х₀=1____________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2. у=1⁄2 х²+1, в х₀=2_______________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Тело движется по закону S (t)=3t²-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.

Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5; V (1)=6·1-5=1

а= V'(t)=(6 t-5)'=6

Ответ: V=1, а=6

1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t²+2 в момент времени t=5: _____________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t³+2t²-7t+11 в момент времени t=2:

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Найдем производную сложной функции:

1.((2х+3)¹°°)′=2·100(2х+3)⁹⁹=200(2х+3)⁹⁹

2.(√3х²+1)′=(1/2·(3х²+1))·(3х²+1)′=6х/(2·√3х²+1)=3х/√3х²+1

1. у =(4х-9)⁷ _________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. у = (х⁄3 +2)¹²_______________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. у = (7-24х)¹⁰ _______________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. у = cosx(5х-9)_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5. у=sinx(7-2х) ______________________________________________

_______________________________________________________________________

1.Производная функции у=f(х) в точке х₀ называется предел _________________

__________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2.Функцию, имеющую производную в точке х₀ называют____________________

_________________ в этой точке.

3.Найти производные функций:

3.1 у=х³+√2____________________________________________________________

3.2 у=3х⁴-7х³-х+¶_______________________________________________________

3.3 у=7х³-5х___________________________________________________________

3.4 у=х-х³+7___________________________________________________________

3.5 у=(5х-2)·(4х-1)______________________________________________________

______________________________________________________________________

3.6 у=(5х+2)⁄(4х-1)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.7 у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.8 у=(3х²-8)/(2х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.9 у=3cosх____________________________________________________________

3.10 у=sin2х___________________________________________________________

3.11 у=1/2 sinх-х⁵_______________________________________________________

3.12 у=5tgх____________________________________________________________

3.13 у= tg3х____________________________________________________________

3.14 у=3cosх+2_________________________________________________________

______________________________________________________________________

3.15 у=2х⁵-3cosх________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀:

4.1 у=7х³-21х²+18, при х₀=1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.2 у=х³-2х²+3х-6, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.3 у=sinx+cosx, при х₀=¶⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

4.4 у=х²⁄2+х, при х₀=1____________________________________________________

_________________________________________

5.Пусть S, пройденный телом за время t, выражается формулой. Определить скорость тела V. Вычислить значение скорости при определенном значении t.

5.1 S(t)=2х³-5х²+11х-3, при t=2___________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5.2 S(t)=5,5t²-8t+11, при t=2_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5.3 S(t)=t²+2, при t=10___________________________________________________