Сравнение частот эмпирического и теоретического распределения при помощи критериев согласия

Вычисление теоретических частот происходит из той или иной гипотезы о предлагаемом законе распределения.

Следовательно, после расчета теоретических частот возникает необходимость проверки выдвинутой гипотезы о соответствии или несоответствии того или иного теоретического закона распределения, принятого в качестве математической модели для эмпирического распределения.

Проверка гипотезы строится на основе сопоставления частот эмпирического и теоретического распределений и суждения о случайности или существенности их расхождений. При этом исходят из того, что если расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными, то гипотеза о том, что принятая теоретическое распределение соответствует данному эмпирическому, не отвергается.

Критерий Пирсона «хи-квадрат»

Для оценки случайности или существенности расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределения в статистике используют ряд показателей является критерий (хи- квадрат)

где m и m^/ - соответственно эмпирические и теоретические частоты.

если учесть, что , т.е. эмпирических и теоретических частот должна быть, равна, то из записанного выше следует:

или приняв, что , запишем в окончательном виде

Пирсоном найдено распределение величины и составлены таблицы, позволяющие определять вероятность наступления определенного значения для разного числа групп в вариационных рядах.

Если вероятность P() значительно отличается от 0, то расхождение между частотами теоретического и эмпирического распределений можно считать случайными, а гипотезу, выдвинутую при расчете теоретических частот, не отвергнутой для данного наблюдения.

При этом определенная по таблицам вероятность наблюдаемого значения принимается в зависимости от так называемого числа степеней свободы,

Под которым понимается число групп, частоты которых можно принимать значения, не связанные друг с другом. Практически для вариационного ряда число степеней свободы определяется как число групп в рассматриваемом ряду минус число ограничивающих эти два ряда связей.

Число ограничивающих связей, в свою очередь, определяется числом сведений эмпирического ряда, используемых при исчислении теоретических частот.

Так, например, в случае выравнивания ряда у кривой нормального распределения между эмпирическим и теоретическим распределением три связи

1 динаковая сумма частот

2

3

по этому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы (к) определяется как n-3, где n число групп в ряду.

При выравнивании по кривой Пуассона k= n-2, так как в этом случае для нахождения теоретических частот учитывались две ограничивающие связи:

1

2

Для оценки существенности наблюдаемых значений при данном числе степеней свободы (k) могут использоваться таблицы двух типов.

1 тип По таблице отыскивается вероятность наступления наблюдаемого значения при данном числе степеней свободы (к).

Если вероятность близка к 0 (как правило, <0,05), расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считают существенными, а гипотезу не приемлемой для данного распределения.

2тип По таблице другого типа определяется предельное верхнее значение «хи – квадрата» (критическое значение) при данном числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Затем наблюдаемое значение «хи- квадрат» сравнивают с табличным (критическим). Если фактическое (хи- квдрат) < табличного

_ф = _табл

то при заданном уровне значимости расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами считают случайными, а гипотезу о принятом законе распределения приемлемой.

Под условием значимости в данном случае понимают вероятность, с которой может быть опровергнута гипотеза о том или ином законе распределения. Чем меньше уровень значимости, тем < вероятность не принять гипотезу. Обычно уровень значимости P()=a принимают 0,05 или 0,01, а отвечающая данной

вероятности (уровню значимости) при определенном числе степеней свободы величина считается критической.

Если превышает критическое значение, отвечающее принятому уровню значимости, то гипотеза о том или ином законе распределения не принимается.

Пример:

х	m	m/	m-m/	(m-m/)2
92.5 97.5 102.5 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5			-1 -1 -7		0.5 0.14 0.06 0.375 0.17 2.88 4.5
итого				=8.625

Определяем число степеней свободы

К= n-3; n=8-3=5

Пользуясь таблицами второго типа, определяем, что при к=5 и уровне значимости предельное значение «хи-квадрата»=11,07. фактически же рассчитанное =8,625, т.е. < табличного и теоретического распределений не опровергнута.

Пользуясь критерием «хи-квадрат» для оценки степени соотношения эмпирических и теоретических распределений, следует иметь в виду, что он будет эффективны, если общий объем совокупности >50 и число единиц в каждом классе не менее 5.

Кроме того, следует учитывать, что данный критерий применим для сопоставления частот, т.е. абсолютных показателей.

Если же распределение дано в частях, т.е. в относительных показателя, то в формуле перед знаком должна учитываться общая численность единиц совокупности, т.е.

Поиск по сайту: