Последовательности

Математический анализ 1

А.Ф.Чувенков

Содержание

Программа по математическому анализу (с рекомендуемой литературой и основными теоретическими сведениями) 4

Множества_ 4

Последовательности_ 7

Функции_ 12

Дифференцирование 19

Исследование функции_ 27

Литература_ 32

Задания для самостоятельного выполнения_ 34

Решение типового варианта_ 56

Выбор варианта контрольной работы № 1_ 69

Приложения_ 70

Неопределенности_ 70

Пределы_ 70

Эквивалентные бесконечно малые 70

Таблица производных_ 71

Латинский алфавит 72

Греческий алфавит 72

Программа по математическому анализу (с рекомендуемой литературой и основными теоретическими сведениями)

Множества

1. Множества: обозначения, символы , , , , , , , , . Теория: [1, стр. 18-19, 34-36], [2, стр. 11], [3, стр. 59-60], [5, стр. 7], [8, стр. 16], [11, стр. 10-11], [17, стр. 5-6, 26-27].

Понятие множества и его элементов являются первичными в математике. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита; элементы множества – малыми буквами.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то пишут . Множества А и В равны (), т.е. состоят из одних и тех же элементов, тогда и только тогда, когда и .

2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение. Теория: [1, стр. 19-21], [2, стр. 11-12], [3, стр. 60, 65-67], [5, стр. 7-8], [8, стр. 18-19], [17, стр. 6-8]. Решённые примеры: [17, стр. 8], Задачи: [16, зад. 1-17], [17, зад. 1.1-1.19], [18, стр. 144].

– объединение;

– пересечение;

– разность;

– симметрическая разность;

– дополнение.

3. Числовые множества. Множество действительных чисел. Непрерывность множества действительных чисел. Теория: [1, стр. 26-31, 37-58], [2, стр. 15-18], [3, стр. 29-34, 46-52], [4, стр. 11-21, 24-25, 28-35], [5, стр. 13-17], [7, стр. 11-15], [8, стр. 16-17], [11, стр. 11-14], [17, стр. 36-39, 43-45], [21, стр. 262-263], Решённые примеры: [20, стр. 6].

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

Множество элементов, на котором определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие некоторым свойствам (аксиомам), называется множеством действительных чисел и обозначается через .

Одним из указанных свойств является аксиома непрерывности множества действительных чисел: для любых непустых подмножеств X и Y множества таких, что для каждой пары чисел и выполняется неравенство , существует число а, удовлетворяющее условию , , .

4. Числовая прямая, окрестности. Теория: [1, стр. 61-64], [2, стр. 18-20], [3, стр. 52-53], [7, стр. 17-18], [11, стр. 14-16], [17, стр. 39-40], [21, стр. 263-264]. Задачи: [17, зад. 3.14-316], [25, стр. 5].

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа – точками этой прямой.

Удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми и и называемыми плюс бесконечность и минус бесконечность.

– отрезок.

– интервал.

, – полуинтервалы.

-окрестностью числа a называется интервал , т.е. .

5. Ограниченные и неограниченные множества. Теория: [1, стр. 64-67], [2, стр. 57], [3, стр. 40-41], [4, стр. 25-26], [5, стр. 19], [7, стр. 19], [8, стр. 75-76, 91-93], [17, стр. 50], [21, стр. 264-265]. Задачи: [17, зад. 3.47-3.49], [25, стр. 5-7].

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что для всех имеет место неравенство ().

X – огр. сверху (снизу) .

6. Верхняя и нижняя грани. Теорема о существовании верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества. Теория: [1, стр. 67-74], [2, стр. 57-59], [3, стр. 41-43], [4, стр. 26-28], [5, стр. 19-21], [8, стр. 76-77], [11, стр. 17-18], [17, стр. 50-51], [21, стр. 265-266]. Решённые примеры: [20, стр. 6-7]. Задачи: [14, зад. 15-20], [17, зад. 3.50-3.54], [20, зад. 20.1-22.1], [25, стр. 5-7].

Пусть числовое множество X ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X, называется его верхней гранью и обозначается или .

Если числовое множество X ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X, называется его нижней гранью и обозначается или .

Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

7. Принцип вложенных отрезков. Теория: [1, стр. 75-80], [2, стр. 62-64], [3, стр. 85-86], [4, стр. 82-83], [5, стр. 17], [8, стр. 90-91], [11, стр. 33-34], [17, стр. 51], [21, стр. 263]. Задачи: [17, зад. 3.55-3.57].

Система числовых отрезков , , , , называется системой вложенных отрезков, если , т. е. .

Всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Длины отрезков , , , называется стремящимися к нулю, если для любого числа существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .

Для всякой системы вложенных отрезков , длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы, при этом .

Последовательности

8. Числовые последовательности. Определение предела числовой последовательности. Теория: [1, стр. 30-31, 87-94], [2, стр. 68-72], [3, стр. 68, 75-78], [4, стр. 43-47], [5, стр. 29-30], [7, стр. 18, 31-33], [8, стр. 78-81], [11, стр. 20-21, 25-26], [17, стр. 165, 181-182], [21, стр. 288-290]. Решённые примеры: [4, стр. 181-183], 48-52], [17, стр. 165-167, 181-183], [20, стр. 60-64, 67-68]. Задачи: [14, зад. 41, 45, 58-66], [15, зад. 176-186], [17, зад. 7.284-7.289, 7.293-7.307, 7.309, 8.1-8.17, 8.73-8.75, 8.77-8.79, 8.82-8.85, 8.87-8.124, 8.126-8.138, 8.142-8.148, 8.191-8.196, 8.206-8.209, 8.262-269, 8.295-8.296], [19, зад. 229-242], [20, зад. 303.1-304.1, 324.1-332.1, 372.1-373.1], [25, стр. 9-10, 12-14].

Пусть X – непустое множество. Всякое отображение множества натуральных чисел N в множество X называется последовательностью элементов множества X.

В частности, числовой последовательностью является «занумерованное» натуральными числами некоторое непустое множество действительных чисел.

Последовательность обозначается или , .

Конечная или бесконечно удаленная точка a числовой прямой называется пределом числовой последовательности , если, какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены последовательности , начиная с некоторого номера; точка a называется пределом последовательности . В этом случае пишут , или при .

С помощью логических символов опр. 1. записывается следующим образом:

.

Числовая последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся.

.

Последовательность, пределом которой является бесконечность, называется бесконечно большой.

.

.

9. Единственность предела последовательности. Теория: [1, стр. 94-95], [2, стр. 72], [3, стр. 78], [4, стр. 53-54], [5, стр. 30], [11, стр. 27], [17, стр. 181].

Сходящаяся последовательность может иметь только один предел.

10. Переход к пределу в неравенствах. Теория: [1, стр. 95-100], [2, стр. 72-76], [3, стр. 81-83], [4, стр. 56-57], [5, стр. 33-34], [7, стр. 44-45], [8, стр. 82-83], [11, стр. 29-30], 115-117], [17, стр. 188-189]. Решённые примеры: [17, стр. 189-191], [20, стр. 68-69]. Задачи: [17, зад. 8.24-8.34, 8.71, 8.76].

Если для всех имеет место равенство , то .

Если для последовательностей , и при любых справедливы неравенства и , то .

Если , и , существует такой номер , для всех номеров выполняется неравенство .

11. Ограниченность сходящейся последовательности. Теория: [1, стр. 100-101], [2, стр. 76-77], [3, стр. 69-71, 78], [4, стр. 52-53], [5, стр. 31], [8, стр. 81], [11, стр. 21-22, 27], [17, стр. 167, 183], [21, стр. 290-291]. Решённые примеры: [17, стр. 167-168, 183-184], [20, стр. 61]. Задачи: [14, зад. 44, 93-110], [17, зад. 7.310-7.338, 8.86], [25, стр. 10-11].

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество его значений ограничено сверху (снизу).

Если числовая последовательность сходится, то она ограничена.

12. Бесконечно малые последовательности. Теория: [1, стр. 109-111], [2, стр. 77-79], [3, стр. 71-75], [4, стр. 47-48, 57-58], [5, стр. 35-36], [8, стр. 85-87], [11, стр. 22-25], [17, стр. 184]. Решённые примеры: [4, стр. 50-51], [20, стр. 72]. Задачи: [14, зад. 42], [20, зад. 321.1-323.1], [25, стр. 11-12].

Пусть и – числовые последовательности. Тогда числовая последовательность называется суммой + , – разностью – , – произведением , а если для всех номеров выполняется неравенство , то последовательность называется частным данных последовательностей.

Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.

Линейная комбинация бесконечно малых является бесконечно малой.

Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность является бесконечно малой.

13. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Теория: [1, стр. 111-122], [2, стр. 79-82], [3, стр. 79-81], [4, стр. 58-60], [5, стр. 31-33], [7, стр. 42-44], [8, стр. 83-85], [11, стр. 28-29], [17, стр. 187]. Решённые примеры: [4, стр. 62-70], [17, стр. 187], [20, стр. 71-73]. Задачи: [14, зад. 127-130], [15, зад. 245-267], [17, зад. 8.18-8.23, 8.149-8.157], [19, зад. 243-257], [20, зад. 355.1], [25, стр. 14-15].

Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу a, тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой: .

Если , то .

Если и , то

.

Если последовательности и сходятся, то их произведение также сходится и выполняется равенство .

Если последовательности и сходятся, для всех номеров выполняется неравенство и , то их частное также сходится и выполняется равенство и выполняется равенство .

14. Монотонные последовательности. Теория: [1, стр. 101-103], [2, стр. 82-84], [3, стр. 83-85], [4, стр. 70-72], [5, стр. 34-35], [7, стр. 45-46], [8, стр. 87-89], [11, стр. 30-32], [17, стр. 168-169, 170, 201], [21, стр. 291]. Решённые примеры: [4, стр. 72-77], [17, стр. 169-170, 201-202], [20, стр. 60-61, 69-70]. Задачи: [14, зад. 77-85], [17, зад. 7.339-7.362, 8.65-8.67], [18, стр. 83-84], [19, зад. 262-272], [20, зад. 305.1, 333.1-339.1], [25, стр. 15-17].

Числовая последовательность называется возрастающей (строго возрастающей, убывающей, строго убывающей), если для всех выполняется неравенство (соответственно , , ).

Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается ().

Всякая возрастающая (убывающая) числовая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху (снизу), и бесконечный, если она неограничена, причем ().

15. Число «е». Теория: [1, стр. 103-105], [2, стр. 84-85], [3, стр. 86-88], [4, стр. 77-79], [7, стр. 47-51], [8, стр. 89-90, 140-141], [11, стр. 32-33], [17, стр. 202], [21, стр. 292-293]. Решённые примеры: [17, стр. 202-203]. Задачи: [14, зад. 69-76], [17, зад. 8.68-8.70, 8.125, 8.212-8.227], [19, зад. 258-261], [25, стр. 17].

Последовательность , , строго возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет конечный предел. Этот предел обозначают через е:

.

16. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теория: [1, стр. 99-100, 105-107, 136-139], [2, стр. 85-88], [3, стр. 92-99], [4, стр. 85-92], [5, стр. 36-39], [8, стр. 93-101], [17, стр. 196-197]. Решённые примеры: [4, стр. 86-87],[17, стр. 196-198], [18, стр. 67-69], [20, стр. 70-71]. Задачи: [14, зад. 89-92, 101-126, 131-136], [17, зад. 7.290-7.292, 7.308, 8.49-8.57, 8.80-8.81, 8.159-8.182], [18, стр. 84, 148-150].

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

17. Критерий Коши сходимости последовательности. Теория: [1, стр. 107-109], [2, стр. 88-90], [3, стр. 102-105], [4, стр. 83-85], [5, стр. 39-40], [8, стр. 101-103], [17, стр. 199-200]. Решённые примеры: [17, стр. 199-200]. Задачи:[14, зад. 87-88], [17, зад. 8.58-8.64, 8.183, 8.197-8.205, 8.261].

Числовая последовательность называется фундаментальной, если .

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

Функции

18. Функции. Область определения, четность, монотонность. Элементарные функции и их графики. Теория: [1, стр. 21-26, 139-146], [2, стр. 32-56], [3, стр. 105-109, 138-158], [4, стр. 93-114], [5, стр. 58-60], [7, стр. 19-30], [8, стр. 19-31], [11, стр. 69-72], [17, стр. 105-107, 111-113, 123-124, 129-130, 133-134], [21, стр. 266-270]. Решённые примеры: [4, стр. 98-100],[17, стр. 107, 113-114, 124-126, 130-136], [18, стр. 4-25], [20, стр. 11-16, 22-25, 34-39, 44-48, 49-53, 54-59]. Задачи: [14, зад. 151-202, 214-223, 231-236, 237-327, 359-368, 388-396], [15, зад. 1-29, 40-64, 76-84, 113-114, 124-126, 129-133, 138-139, 143-144, 157, 163-166], [17, зад. 7.1-7.21, 7.30-7.44, 7.50-7.55, 7.64-7.69, 7.70-7.72, 7.74-7.84, 7.87-7.98, 7.100-7.104, 7.117-7.137, 7.156-7.165, 7.174-7.182, 7.184-7.189, 7.213-7.265, 7.280-7.283], [18, стр. 34-36, 44-45], [19, зад. 26-228], [20, зад. 44.1-47.1, 50.1-79.1, 103.1-132.1, 179.1-210.1, 212.1-233.1, 247.1-302.1], [25, стр. 36-44].

Пусть каждому из числового множества по некоторому правилу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена функция, и пишут , . Множество значений аргумента (область определения) и множество значений функции обозначают соответственно и .

Функции и называют равными, если и равенство верно для всех .

Пусть заданы функции и и пусть . Функцию , , называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций и .

19. Определения предела функции. Теория: [1, стр. 146-155], [2, стр. 98-103, 106-108, 161-165], [3, стр. 109-112], [4, стр. 115-119], [ [5, стр. 60-63], [7, стр. 33-34], [8, стр. 107-111], [11, стр. 73-76], [17, стр. 232-233, 234-235], [21, стр. 272-273]. Решённые примеры: [4, стр. 120-122, 125-128], [17, стр. 233-234], [20, стр. 79-81]. Задачи: [14, зад. 401-402, 404, 405(а-в), 406, 408-470], [15, зад. 190-195, 268-313], [17, зад. 9.1-9.19], [19, зад. 277-287], [20, зад. 374.1-383.1], [25, стр. 44-45].

Пусть .

Опр. (Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , , , сходящейся к последовательность сходится к .

Опр. (Коши). Число называется пределом функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Если число является пределом функции в точке , то пишут или при .

20. Непрерывность функции в точке. Теория: [1, стр. 155-159, 177-181], [2, стр. 103-104], [3, стр. 127-131], [4, стр. 146-148], [5, стр. 66-67], [7, стр. 53-55], [8, стр. 31-35], [11, стр. 87-88], [17, стр. 263], [21, стр. 283-284]. Решённые примеры: [17, стр. 264-265], [20, стр. 96-97]. Задачи: [14, зад. 662, 666-674], [17, зад. 10.1-10.17, 10.53-10.55, 10.65-10.67, 10.78], [19, зад. 395-399], [20, зад. 485.1-504.1], [25, стр. 45-47].

Функцию , определенную в окрестности точки , называют непрерывной в точке , если .

Функция , определенная в окрестности точки , непрерывна в этой точке, если для каждого существует такое , что для любого , удовлетворяющего условию , верно неравенство .

21. Свойства пределов функции. Теория: [1, стр. 169-174], [2, стр. 110-113], [3, стр. 131], [4, стр. 129-130], [5, стр. 63-64], [7, стр. 42-44], [8, стр. 111-113], [11, стр. 78-79], [21, стр. 277-281]. Решённые примеры: [4, стр. 130-133, 166-167], [17, стр. 236-239], [18, стр. 48-67], [20, стр. 82-84]. Задачи: [17, зад. 9.20-9.28], [18, стр. 79], [19, зад. 288-303], [20, зад. 384.1-420.1], [25, стр. 45-50].

Если функции и имеют пределы в точке , то функции ; ; , , также имеют пределы в точке , причем ; ; .

22. Критерий Коши существования предела функции. Теория: [2, стр. 121-122], [3, стр. 115-118], [4, стр. 134-135], [8, стр. 113-116].

Для того чтобы функция имела в точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа нашлось число такое, что для любых двух значений и , удовлетворяющих условиям , выполнялось неравенство .

23. Предел и непрерывность сложной функции. Теория: [1, стр. 25-26, 189-192], [2, стр. 122-123], [3, стр. 132], [4, стр. 156-157], [5, стр. 70], [8, стр. 116-122], [11, стр. 72-73, 100-101], [17, стр. 271], [21, стр. 284-285]. Решённые примеры: [17, стр. 221-222], [20, стр. 26-28], [20, стр. 97], [21, стр. 268-269]. Задачи: [14, зад. 203-213.1, 328-339-357, 744-750], [15, зад. 30-37], [17, зад. 7.22-7.27, 10.24-10.25, 10.68-10.69], [20, зад. 157.1-166.1].

Пусть существуют ( при ) и . Тогда в точке существует предел композиции , причем .

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки определена композиция и она непрерывна в точке .

24. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Теория: [1, стр. 166-169], [2, стр. 108-110], [3, стр. 112-115], [4, стр. 150-151], [5, стр. 64-66], [7, стр. 35-36], [8, стр. 122-127], [11, стр. 76-78], [17, стр. 243-244], [21, стр. 273-274]. Решённые примеры: [17, стр. 244-245, 251-252], [20, стр. 87-88]. Задачи: [14, зад. 403, 405(г-и), 407], [15, зад. 221-224], [17, зад. 9.39-9.41], [19, зад. 321-334], [20, зад. 475.1].

Число называется пределом слева функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство . Его обозначают или .

Аналогично определяется предел справа, обозначаемый или .

Функцию , определенную на промежутке (), называют непрерывной слева (справа) в точке , если ().

25. Классификация точек разрыва. Теория: [1, стр. 181-182], [2, стр. 118-119], [3, стр. 162-166], [4, стр. 150-151], [5, стр. 67-68], [7, стр. 55-56], [11, стр. 91], [17, стр. 268], [21, стр. 285-286]. Решённые примеры: [4, стр. 151-154], [17, стр. 268-269], [20, стр. 98-101]. Задачи: [14, зад. 675-719, 729-731, 734-743], [15, зад. 225-239], [17, зад. 10.18-10.23, 10.56-10.63], [19, зад. 400-426], [20, зад. 505.1-518.1].

Точку называют точкой разрыва функции в следующих случаях:

1) функция не определена в этой точке;

2) функция определена в этой точке, но

а) не существует ,

б) существует , но .

Если существует , но или не определена в точке , или , то называют точкой устранимого разрыва.

Если в точке разрыва существуют односторонние пределы и , то называют точкой разрыва 1-го рода, а разность ­– – скачком функции в точке .

Если в точке разрыва не существуют хотя бы один из односторонних пределов и , то называют точкой разрыва 2-го рода.

26. Бесконечно малые функции. Сравнение функций в окрестности точки. Эквивалентные функции. Теория: [1, стр. 174-177, 219-232], [2, стр. 113-114, 144-147], [3, стр. 119-121], [4, стр. 136-141], [5, стр. 85-87], [7, стр. 39-42, 59-61], [8, стр. 142-146], [11, стр. 82-87], [17, стр. 236, 245-249], [21, стр. 274-276, 298-301]. Решённые примеры: [4, стр. 138-140], [17, стр. 246-251], [20, стр. 87]. Задачи: [17, зад. 9.44-9.57], [18, стр. 77-79], [19, зад. 381-394], [20, зад. 471.1-472.1], [25, стр. 50-54].

Функция называется бесконечно малой при , если .

Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой и ограниченной функций есть бесконечно малая функция.

Функция называется бесконечно малой относительно функции при , если . В этом случае пишут , .

Функция называется эквивалентной функции при , если . В этом случае пишут , .

Если , то существует такая постоянная , что для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство . В этом случае пишут , .

27. Первый замечательный предел. Теория: [1, стр. 215-216], [2, стр. 140-142], [3, стр. 158-159], [4, стр. 122-124], [5, стр. 83], [7, стр. 46-47], [8, стр. 141-142], [11, стр. 79-80], [17, стр. 239], [21, стр. 281-283]. Решённые примеры: [17, стр. 240], [20, стр. 84-87]. Задачи: [14, зад. 471-505], [15, зад. 314-350], [17, зад. 9.29-9.32], [18, стр. 80-83], [19, зад. 304-320], [20, зад. 421.1-441.1].

28. Второй замечательный предел. Теория: [1, стр. 216-219], [2, стр. 142-144], [3, стр. 159-162], [4, стр. 124-128], [5, стр. 83-85], [7, стр. 49-51], [11, стр. 81-82], [17, стр. 239]. Решённые примеры: [17, стр. 241-243], [20, стр. 85-86]. Задачи: [14, зад. 506-563, 611-612], [15, зад. 351-378], [17, зад. 9.33-9.38], [19, зад. 358-369], [20, зад. 442.1-466.1].

29. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса. Теория: [1, стр. 192-194], [2, стр. 125-126], [3, стр. 167-169, 172-176], [4, стр. 174-178], [5, стр. 71-73], [7, стр. 36-39, 57-58], [8, стр. 127-129], [11, стр. 94-97], [17, стр. 118-119, 120-121, 272], [21, стр. 286-287]. Решённые примеры: [17, стр. 119-120, 273], [20, стр. 39-40, 108-109]. Задачи: [17, зад. 7.56-7.63, 7.99, 7.166-7.174, 7.190-7.212, 7.279, 10.70-10.77], [20, зад. 211.1].

Теоремы Вейершрасса: Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция

1) ограничена на ;

2) достигает на своих верхней и нижней граней, т.е. существуют такие, что , .

30. Промежуточные значения непрерывной функции. Теорема Больцано-Коши. Теория: [1, стр. 194-196], [2, стр. 126-127], [3, стр. 170-171], [4, стр. 168-172], [5, стр. 70-71], [7, стр. 56-58], [8, стр. 129-131], [11, стр. 92-94], [21, стр. 286-287]. Решённые примеры: [20, стр. 106-107]. Задачи: [17, зад. 10.78-10.81].

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа , заключённого между и , найдётся точка такая, что .

31. Обратные функции. Непрерывность обратной функции. Теория: [1, стр. 23-26, 197-203], [2, стр. 127-130], [3, стр. 133-138], [4, стр. 172-174], [8, стр. 131-134], [11, стр. 101-104], [17, стр. 116-117, 272], [21, стр. 268]. Решённые примеры: [17, стр. 117-118, 126-127], [20, стр. 33-31, 107-108]. Задачи: [14, зад. 224-230, 759-772], [15, зад. 117-123], [17, зад. 7.45-7.49, 7.138-7.154, 7.183, 10.33-10.36, 10.82-10.85], [20, зад. 170.1-178.1].

Пусть функция определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке . Тогда она имеет обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке (соответственно ).

32. Непрерывность элементарных функций. Теория: [1, стр. 203-214], [2, стр. 131-140], [3, стр. 138-158], [4, стр. 148-150, 155-156], [5, стр. 77-83], [8, стр. 135-140], [11, стр. 88-91], [17, стр. 273].

Все основные элементарные функции: постоянная, показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические непрерывны на своих областях определения.

Дифференцирование

33. Определение производной функции. Теория: [1, стр. 235-238], [2, стр. 150-151], [3, стр. 189-192], [4, стр. 186-193], [5, стр. 99-100], [7, стр. 66-67], [8, стр. 38-39, 147-150], [11, стр. 104-105 [17, стр. 322], [21, стр. 304]. Решённые примеры: [4, стр. 193-196],[17, стр. 322-323], [20, стр. 119-120, 126-128]. Задачи: [14, зад. 821-824], [15, зад. 440-453], [17, зад. 13.1-13.2], [19, зад. 427-439], [20, зад. 16.2, 91.2-97.2], [25, стр. 54-55].

Предел отношения при называется производной функции в точке и обозначается , или , т.е. .

Если производная существует для всех , то функция называется дифференцируемой на интервале .

34. Дифференциал функции. Теория: [1, стр. 238-243], [2, стр. 152-154], [3, стр. 193-197], [4, стр. 211-216], [5, стр. 108-109], [7, стр. 101-105], [8, стр. 152-154], [11, стр. 109-112], [17, стр. 343, 344], [21, стр. 316-317, 321-323]. Решённые примеры: [17, стр. 343-345], [20, стр. 138-139]. Задачи: [14, зад. 1083-1090], [15, зад. 889], [17, зад. 13.209-13.214], [19, зад. 586-613], [20, зад. 152.2], [25, стр. 59-60].

Если приращение функции в точке представимо в виде , где не зависит от и при , то функция называется дифференцируемой в точке , а произведение называется её дифференциалом в точке и обозначается или .

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала , то .

35. Геометрический смысл производной и дифференциала. Теория: [1, стр. 243-247], [2, стр. 154-156], [3, стр. 192-193, 196-197], [4, стр. 187-189], [5, стр. 101-102], [7, стр. 67-69, 105-106], [8, стр. 36-38], [11, стр. 105-106], [17, стр. 347-348], [21, стр. 302-303, 304, 318-319]. Решённые примеры: [17, стр. 349-350], [20, стр. 132-133]. Задачи: [14, зад. 825-826, 1055-1063], [15, зад. 454-465], [17, зад. 14.1-14.3, 14.11], [19, зад. 614-644], [20, зад. 119.2-133.2].

Если функция имеет производную в точке , то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен . Следовательно, уравнение касательной в точке имеет вид .

Когда абсцисса в точке получает приращение , ордината касательной к графику функции в точке получает приращение, равное .

36. Физический смысл производной и дифференциала. Теория: [1, стр. 247-250], [2, стр. 156-158], [4, стр. 186-187], [5, стр. 101], [7, стр. 64-65], [8, стр. 35-36], [11, стр. 106-107], 252], [17, стр. 354-355], [21, стр. 303-304, 305, 319]. Решённые примеры: [17, стр. 355], [20, стр. 116-118, 133-134]. Задачи: [14, зад. 827], [17, зад. 14.33-14.45], [19, зад. 645-664], [20, зад. 1.2-15.2].

Если – длина пути, проходимого материальной точкой за время , отсчитываемое от некоторого момента времени , есть мгновенная скорость в момент времени , т.е. .

Дифференциал равен пути, который прошла бы рассматриваемая точка за промежуток времени , начиная с момента

, если бы движение на этом участке пути было равномерным со скоростью .

37. Свойства производных, связанные с арифметическими операциями. Теория: [1, стр. 250-253], [2, стр. 158-159], [3, стр. 202-205], [4, стр. 199-202], [5, стр. 102-103], [8, стр. 41-42, 150-151], [17, стр. 324], [21, стр. 308-310]. Решённые примеры: [4, стр. 203-204], [4, стр. ], [20, стр. 120]. Задачи: [14, зад. 834-971, 977-983], [15, зад. 466-547], [25, стр. 55-59].

Если функции и заданы в окрестности точки , а в самой точке имеют конечные производные, то функции , , , , а в случае и функция также имеют точке конечные производные; при этом имеют место формулы

.

38. Производная обратной функции. Теория: [1, стр. 253-256], [2, стр. 159-161], [3, стр. 199-200], [4, стр. 196-197], [5, стр. 104-105], [7, стр. 85-88], [8, стр. 156-159], [11, стр. 114-115], [17, стр. 339], [21, стр. 310]. Решённые примеры: [17, стр. 339]. Задачи: [14, зад. 1034-1038], [15, зад. 548-633, 650-774, 775-786, 7.105], [17, зад. 13.197-13.200].

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки , и пусть в этой точке существует производная ; тогда обратная функция в точке имеет производную, которая может быть найдена по формуле .

39. Производная функции, заданной параметрически. Теория: [5, стр. 105-106], [7, стр. 93-98], [17, стр. 141, 340]. Решённые примеры: [17, стр. 141, 340-341], [18, стр. 25-29], [20, стр. 189]. Задачи: [14, зад. 369, 780-784, 1039-1047, 1077-1080], [15, зад. 932-949], [17, зад. 7.111-7.113, 7.266-7.269, 13.201-13.204, 13.215(9-10)], [19, зад. 570-578], [20, зад. 446.2-450.2].

Поиск по сайту: