Задания для самостоятельного выполнения

1. Доказать равенства:

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

1.4. ;

1.5. ;

1.6. ;

1.7. ;

1.8. ;

1.9. ;

1.10. .

Исходя из определения предела последовательности, доказать, что:

1.11. ; 1.12. ; 1.13. ; 1.14. ; 1.15. ; 1.16. ; 1.17. ; 1.18. 1.19.

2. Найти область определения функции:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4. ; 2.5. ; 2.6. ; 2.7. ; 2.8. ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ; 2.12. ; 2.13. ; 2.14. 2.15.

3. Найти пределы:

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.

4. Найти пределы:

4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7. ;
4.8. ;
4.9. ;
4.10. ;
4.11. ;
4.12. ;
4.13.
4.14. ;
4.15.

5. Найти пределы:

5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.

6. Найти пределы:

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7. ;
6.8. ;
6.9. ;
6.10. ;
6.11. ;
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.

7. Найти пределы:

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.

8. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.

9. Продифференцировать функции:

9.1.	9.2.
9.3.	9.4.
9.5.	9.6.
9.7.	9.8.
9.9.	9.10.

10. Найти производные функций:

10.1.	10.2.
10.3.	10.4.
10.5.	10.6.
10.7.	10.8.
10.9.	10.10.

11. Продифференцировать функции:

11.1.	11.2.
11.3.	11.4.
11.5.	11.6.
11.7.	11.8.
11.9.	11.10.
11.11.	11.12.

12. Продифференцировать функции:

12.1.	12.2.
12.3.	12.4.
12.5.	12.6.
12.7.	12.8.
12.9.	12.10.

13. Продифференцировать неявно заданную функцию :

13.1.	13.2.
13.3.	13.4.
13.5.	13.6.
13.7.	13.8.
13.9.	13.10.
13.11.	13.12.
13.13.	13.14.
13.15.	13.16.
13.17.	13.18.

14. Найти производную функции , заданной параметрически:

14.1.	14.2.
14.3.	14.4.
14.5.	14.6.
14.7.	14.8.
14.9.	14.10.

15. Для функции и аргумента вычислить :

15.1.	15.2.
15.3.	15.4.
15.5.	15.6.
15.7.	15.8.
15.9.	15.10.

16.1. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.2. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.3. Записать уравнение касательной к кривой в точке .

16.4. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.5. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.6. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.7. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.8. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.9. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.10. Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .

16.11. Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .

16.12. Записать уравнение нормали к кривой в точке .

16.13. Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .

16.14. Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

16.15. Определить угловой коэффициент касательной к кривой в точке .

16.16. В какой точке кривой касательная перпендикулярна к прямой ?

16.17. Выяснить, в каких точках кривой касательная составляет с осью угол .

16.18. Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .

16.19. Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .

16.20. Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .

16.21. Выяснить, в какой точке кривой касательная параллельна прямой .

16.22. Выяснить, в какой точке кривой касательная перпендикулярна прямой .

16.23. Выяснить, в какой точке кривой касательная параллельна прямой .

16.24. Найти точки на кривой , в которых касательные параллельны оси .

16.25. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

16.26. Найти точку на кривой , касательная в которой перпендикулярна к прямой .

16.27. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

16.28. Найти точку на кривой , касательная в которой перпендикулярна к прямой .

16.29. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

16.30. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

17.1. Траектория движения тела – кубическая парабола . В каких ее точках скорости возрастания абсциссы и ординаты одинаковы?

17.2. Закон движения материальной точки . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 2 м/с?

17.3. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?

17.4. Материальная точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса равномерно возрастает со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется ордината точки, когда она проходит положение ?

17.5. В какой точке параболы ордината возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса?

17.6. Закон движения материальной точки . Найти скорость движения точки в момент времени с.

17.7. Закон движения материальной точки . Найти скорость движения точки в момент времени с.

17.8. Закон движения точки . Найти ее скорость в момент времени с.

17.9. Закон движения точки . Найти ее скорость в момент времени с.

17.10. Закон движения точки . Найти ее скорость в момент времени с.

17.11. Закон движения материальной точки . В какой момент времени ее скорость будет равна 42 м/с?

17.12. Закон движения материальной точки . В какой момент времени ее скорость будет равна 190 м/с?

17.13. Закон движения материальной точки . Найти ее скорость в момент времени с.

17.14. Закон движения материальной точки . Найти скорость ее движения в момент времени с.

17.15. Закон движения материальной точки . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 10 м/с?

17.16. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?

17.17. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?

17.18. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . В какой момент времени их скорости окажутся равными?

17.19. Материальная точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса равномерно возрастает со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется ордината точки, когда она проходит положение ?

17.20. В какой точке параболы ордината возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса?

17.21. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?

17.22. В какой точке кривой ордината возрастает в четыре раза быстрее, чем абсцисса?

17.23. В какой точке параболы абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината?

17.24. В какой точке параболы абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината?

17.25. По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . В какой момент времени их скорости окажутся равными?

17.26. Закон движения материальной точки по прямой задан формулой . В какой момент времени скорость точки будет равна нулю?

17.27. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела. В какие моменты времени оно меняет направление движения?

17.28. Зависимость между массой кг вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и времени выражается уравнением . Определить скорость реакции в случае, когда с.

17.29. Материальная точка движется прямолинейно так, что , где – скорость; – пройденный путь. Определить ускорение движения точки в момент, когда скорость равна 6 м/с.

17.30. Закон движения материальной точки . Найти скорость движения точки в момент времени с.

18. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

18.1.	18.2.
18.3.	18.4.
18.5.	18.6.
18.7.	18.8.
18.9.	18.10.
18.11.	18.12.
18.13.	18.14.
18.15.	18.16.
18.17.	18.18.
18.19.	18.20.
18.21.	18.22.
18.23.	18.24.
18.25.	18.26.
18.27.	18.28.
18.29.	18.30.

19. Найти наибольшее наименьшее значения функции на отрезке :

19.1.	19.2.
19.3.	19.4.
19.5.	19.6.
19.7.	19.8.
19.9.	19.10.

20. Провести полное исследование функции и построить её график:

20.1.	20.2.
20.3.	20.4.
20.5.	20.6.
20.7.	20.8.
20.9.	20.10.
20.11.	20.12.
20.13.	20.14.
20.15.	20.16.
20.17.	20.18.
20.19.	20.20.

Решение типового варианта

Пример 1а. Доказать равенство .

Решение. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств нужно доказать вложения этих множеств друг в друга.

а). Докажем вложение . Пусть .

б). Докажем вложение . Пусть .

Из а) и б) следует доказываемое равенство.

Пример 1б. Исходя из определения предела последовательности, доказать, что .

Решение. По определению предела последовательности нужно доказать, что для любого малого числа можно найти такое натуральное число , что для всех номеров выполняется неравенство . Упростим левую часть последнего неравенства. Имеем (для ). Далее . Решим теперь неравенство . Имеем . Таким образом, неравенство выполняется для номеров . Следовательно, оно тем более выполняется для , где – целая часть числа .

Пример 2. Найти область определения функции

.

Решение. Корень четной степени имеет смысл от неотрицательных чисел. Поэтому . И так как это выражение стоит в знаменателе, то . Решим это неравенство методом интервалов: .

Решением является интервал .

Функция определена при т. е. .

Значит из интервала нужно удалить точку . Следовательно, область определения данной функции является множество .

Пример 3. Найти предел .

Решение. Подставив вместо число , в числителе и знаменателе получим , т.е. получается неопределенность . Чтобы раскрыть эту неопределенность разложим числитель и знаменатель на множители:

а). ;

б). .

Тогда имеем

.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Подставив вместо «бесконечно большое число» , в числителе и знаменателе получим , т.е. получается неопределенность . Чтобы раскрыть её разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень . Имеем

.

Пример 5. Найти предел .

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Для её раскрытия избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение. Имеем

.

Пример 6. Найти предел .

Решение. Подставив вместо число 0, получим неопределенность вида . Для её раскрытия воспользуемся тригонометрическими формулами и первым замечательным пределом: . Имеем

.

Пример 7. Найти предел .

Решение. Вместо подставив 0, получим неопределенность вида . Следовательно, нужно воспользоваться вторым замечательным пределом: . Имеем

.

Пример 8. Исследовать функцию

на непрерывность и построить её график.

Решение. Данная функция определена во всех точках оси абсцисс, кроме точки . Функция состоит из элементарных функций, которые, как известно, непрерывны в области определения. Значит на непрерывность нужно исследовать точки «стыка» и точку, в которой функция не определена. Для удобства сделаем следующую схему:

a). Исследуем точку . Найдём пределы слева, справа и

значение функции в этой точке:

,

, .

Вывод: Так как односторонние пределы конечны и не равны между собой, то в точке разрыв первого рода. Скачок в этой точке равен . Так как предел справа совпадает со значением функции, то в точке функция непрерывна справа.

б). Исследуем точку . Имеем , , функция в точке не определена.

Вывод: Так как односторонние пределы равны , то в точке разрыв второго рода.

в). Исследуем точку . Имеем , , .

Вывод: В точке односторонние пределы существуют и совпадают со значение функции в сомой точке. Значит в точке данная функция непрерывна.

Построим график данной функции.

Пример 9. Продифференцировать функцию

.

Решение. Данная функция представляет собой алгебраическую сумму нескольких функций. Поэтому воспользуемся свойством производной от суммы функций: . Потом, воспользовавшись свойством , приведём степенные функции к удобному для применения формулы виду. Имеем

.

Пример 10. Продифференцировать функцию

Решение. Воспользуемся последовательно формулами , , . Имеем

Поиск по сайту: