Исследование функции

54. Признак монотонности функции. Теория: [1, стр. 307-309], [2, стр. 188-189], [3, стр. 224, 230-231], [4, стр. 270-272], [5, стр. 159], [7, стр. 145-146], [8, стр. 165-168, 170], [11, стр. 140], [17, стр. 121-122, 420], [21, стр. 339-341]. Решённые примеры: [4, стр. 272-276], [17, стр. 420-421], [20, стр. 149-151]. Задачи: [14, зад. 1268-1292], [15, зад. 1143-1184], [17, зад. 20.1-20.12], [25, стр. 71].

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна).

Если производная функции во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает).

55. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие. Теория: [1, стр. 309-310], [2, стр. 189-190], [3, стр. 224-226, 262-263], [4, стр. 276-278], [7, стр. 146-150], [8, стр. 166-167, 171-173], [11, стр. 140-142], [17, стр. 421-422], [21, стр. 341-343].

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки . Если точка является точкой экстремума функции , то её производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

56. Достаточные условия локального экстремума функции. Теория: [1, стр. 310-316], [2, стр. 190-194], [3, стр. 263-271], [4, стр. 278-280], [5, стр. 159-162], [7, стр. 150-152, 155-158], [11, стр. 142-143], [17, стр. 422-423], [21, стр. 344-346]. Решённые примеры: [4, стр. 280-286], [17, стр. 423-425], [18, стр. 110-112], [20, стр. 161-163]. Задачи: [14, зад. 1414-1444], [15, зад. 1267-1277], [17, зад. 20.13-20.27], [18, стр. 127], [19, зад. 748-768], [20, зад. 300.2-315.2], [25, стр. 71-72].

1. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, при и при . Если же при и при , то – точка строгого минимума.

2. Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно. Тогда, если а , то при четном точка является точкой строгого экстремума, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если ; при нечетном экстремума в точке нет.

57. Наибольшее и наименьшее значения функции. Теория: [1, стр. 316-317], [3, стр. 284-286], [4, стр. 288-289], [7, стр. 158-160], [17, стр. 425, 460], [21, стр. 353-354]. Решённые примеры: [4, стр. 289-294], [17, стр. 426-427, 460-461], [18, стр. 113], [20, стр. 163-166]. Задачи: [14, зад. 1445-1449, 1556-1590], [15, зад. 1185-1259], [17, зад. 20.37-20.47], [18, стр. 128-130], [19, зад. 741-747, 769-811], [20, зад. 316.2-394.2], [25, стр. 72-73].

Пусть функция непрерывна на отрезке . Для нахождения её наибольшего (наименьшего) значения на этом отрезке нужно выбрать наибольшее (наименьшее) число из значений функции в граничных точках и в точках отрезка , в которых производная либо равна нулю, либо не существует.

58. Выпуклость и точки перегиба. Теория: [1, стр. 317-324], [2, стр. 194-199], [3, стр. 271-279], [4, стр. 294-305], [5, стр. 162-164], [7, стр. 162-167], [8, стр. 192-196], [11, стр. 143-146], [17, стр. 427-430], [21, стр. 347-349]. Решённые примеры: [17, стр. 430-433], [20, стр. 172-173]. Задачи: [14, зад. 1298-1309], [15, зад. 1278-1317], [17, зад. 7.272-7.278, 20.51-20.66], [19, зад. 842-864], [20, зад. 395.2-412.2], [25, стр. 73-74].

Для того чтобы функция , дважды дифференцируемая на интервале , была выпуклой вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы () на этом интервале.

Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.

1. Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой перегиба, если в этой окрестности либо при и при , либо при и при .

2. Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно и пусть а . Тогда, если – нечетное число, то точка –точка перегиба, если же – четное число, то точка не является точкой перегиба.

59. Асимптоты графика функции. Теория: [1, стр. 324-327], [2, стр. 199-200], [3, стр. 279-281], [4, стр. 308-311], [5, стр. 165-166], [7, стр. 167-171], [11, стр. 146-149], [17, стр. 290, 293, 298], [21, стр. 349-351]. Решённые примеры: [17, стр. 290-306], [20, стр. 45-47, 174-176]. Задачи: [14, зад. 626-627], [15, зад. 1371-1397], [17, зад. 11.1-11.21, 21.1-21.2], [18, стр. 87], [19, зад. 833-841], [20, зад. 413.2-414.2], [25, стр. 74-76].

Если или , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Для того чтобы прямая была асимптотой графика функции при (при ), необходимо и достаточно, чтобы , (, ).

60. Схема исследования функции. Теория: [1, стр. 327-336], [2, стр. 200-202], [3, стр. 281-284], [4, стр. 305-307], [5, стр. 166], [7, стр. 152-154, 171-175], [11, стр. 149-151], [17, стр. 443-444], [21, стр. 351-353]. Решённые примеры: [4, стр. 307-308, 311-314],[17, стр. 444-454], [18, стр. 117-122], [20, стр. 177-184]. Задачи: [14, зад. 1471-1530], [15, зад. 1398-1464], [17, зад. 21.3-21.20], [18, стр. 132], [19, зад. 865-888], [20, зад. 415.2-425.2], [25, стр. 76-82].

Для исследования функции можно придерживаться следующей схемы:

1. Найти область определения функции. Проверить, является ли функция четной, нечетной, периодической. По возможности найти точки пересечения графика с осями координат.

2. Вычислить первую производную функции, найти промежутки её возрастания и убывания, найти экстремумы.

3. Вычислить вторую производную функции, найти промежутки выпуклости вверх или вниз, найти токи перегиба.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Начертить график функции.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В трех томах. Том 1. М.: Высшая школа, 1988.

2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. М.: Изд. МГУ, 1985.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. М.: Наука, 1970.

5. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. М.: Наука, 1984.

6. Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Том 1. М.: Наука, 1974.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Том первый. М.: Наука, 1985.

8. Никольский С.М. Курс математического анализа. Том 1. М.: Наука, 1990.

9. Коровкин П.П. Математический анализ. Часть I. М., 1963.

Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том первый. М.: Наука, 1965.

10.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.

11.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980.

12.Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. Том 1. М.: Просвещение, 1966.

13.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.

14.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985

15.Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и функций. М.: Просвещение, 1981.

16.Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость. М.: Наука, 1984.

17.Виноградов И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.: Изд. МГУ, 1988.

18.Давыдов Н.А. и др. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1973.

19.Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 1. М.: Просвещение, 1971.

20.Гусак А.А Высшая математика. Том 1. Минск: Изд. БГУ, 1983.

21.Руководство к решению задач по высшей математике. Под ред. Е.И.Гурского. Часть 1. Минск: Вышэйшая школа, 1989.

22.Шипачев В.С. Курс высшей математики. Анализ функций одной переменной и аналитическая геометрия. М:. Изд. МГУ, 1981.

23.Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. Минск: Вышэйшая школа, 1990.

24.Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. М.: Высшая школа, 1994.

25. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1. Под общ. ред. А.П. Рябушко. Минск.: Вышэйшая школа, 1991.

Поиск по сайту: