АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Учитывая эти замечания, теорему Вейерштрасса можно также сформулировать следующим образом: если монотонная последовательность ограничена, то она сходится

Читайте также:
  1. А также для того, чтобы очистил (от грехов) Аллах тех, которые уверовали, и уничтожил неверных.
  2. Альтернативные возможности производства масла и пушек
  3. Б. индивидов и групп индивидов как потребителей, а также осуществляющих предпринимательскую деятельность
  4. Боялась даже думать о реакции людей,сама ведь попалась на приворот,как так можно было.
  5. В выражении можно смешивать без явного приведения типов только совместимые данные.
  6. В каком из приведенных случаев возможно протекание реакции обмена?
  7. В настоящее время в заповедном деле имеется три основных идеологии, которые можно назвать как 1) ресурсизм; 2) классическое заповедание; 3) экоцентризм (этика дикой природы).
  8. В небольших дозах используются как средства при диспепсии, возникающей вследствие хронических заболеваний, а также как диуретики и повышающие обменные процессы в организме.
  9. В целом можно выделить четыре этапа экспериментальной работы Мейо.
  10. Возможности
  11. Возможности и ресурсы. Каковы возможности и ресурсы сторон в настоящее время ?
  12. Возможности компьютерных систем бухгалтерского учета

Предел последовательности

Для исследования сходимости последовательности воспользуемся теоремой Вейерштрасса. Докажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Применяя формулу бинома Ньютона

,

где — биномиальные коэффициенты, которые вычисляются по формуле , получим

. (1)

Заметим, что . Тогда выражение (1) примет вид

. (2)

Аналогично получим выражение для элемента

. (3)

Сравним выражения (2) и (3). Правая часть выражения (2) содержит положительное слагаемое, а выражения (3) положительных слагаемых. Причем каждое слагаемое вида в выражении (2) меньше аналогичного слагаемого в формуле (3). Следовательно, , и рассматриваемая последовательность возрастающая.

Докажем теперь ограниченность данной последовательности. Прежде всего, заметим, что при . Следовательно, . Поскольку выражения вида меньше единицы при , то для справедливо неравенство

. (4)

Из выражения (2) и неравенства (4) следует неравенство

.

Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, имеем

.

Тогда . Следовательно, последовательность ограничена сверху. Заметим также, что из формулы (2) следует, что

.

Мы доказали, что последовательность ограничена сверху и возрастает. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Этот предел называют числом , то есть

.

Поскольку , то , следовательно, число заключено в пределах от 2 до 3. Более точно, число равно 2,718281828459045…

 




Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)