АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Интегралы, сводящиеся к интегрированию рациональных дробей

Читайте также:
  1. Интегрирование иррациональных функций.
  2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
  3. Интегрирование простейших рациональных дробей.
  4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
  5. Интегрирование рациональных дробей общего вида
  6. Интегрирование рациональных дробей.
  7. Обоснование рациональных сфер применения сравниваемых типов ВС по дальности
  8. Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от всех корней в подынтегральной функции.
  9. Перевод правильных дробей.
  10. Проектирование рациональных режимов труда и отдыха
  11. Сложение и вычитание дробей.

Рациональной функцией будем называть функцию, при вычислении которой используются следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.

 

Интегралы вида .

Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей заменой переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

.

Полученное выражение является рациональной дробью.

 

Задача. Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

 

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

 

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

Тогда =

Подставляя , получаем =

 

Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

 

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

 

.

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

 

Тогда

=

=

 

=

 

=

 

=

Подставляя , получаем

 

= .

 

Задача. Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

=.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.

 

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

 

.

 

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

Тогда

.

Подставляя , получаем

 

= .

 

Интегралы вида .

Данный неопределенный интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби по следующей схеме.

Обозначим через - наименьшее общее кратное чисел . (На всякий случай напомним, что наименьшим общим кратным для некоторого множества целых чисел называется такое наименьшее целое число, которое делится без остатка на все числа данного множества.)

Сделаем замену переменной . Тогда .

После указанной замены подынтегральное выражение превращается в рациональную дробь.

Рассмотрим примеры.

Задача. Найти .

Подынтегральная функция содержит и .

Наименьшим целым числом, которое делится на 2 и на 3 является число 6.

Сделаем замену , . Тогда . Напомним, что

. Следовательно , .

Тогда

.

 

Выражение, стоящее под знаком интеграла является неправильной рациональной дробью. Следовательно, его можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

 

Имеем

 

Следовательно

 

Подставляя , получаем

 

= .

 

Задача. Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , , . Тогда получаем

.

Подставляя , получаем окончательный ответ

.

 

Интегралы вида .

Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей путем следующей замены (так называемая «универсальная тригонометрическая подстановка»). Обозначим . Тогда , .

Из школьного курса тригонометрии известны формулы выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла. На всякий случай мы напомним эти формулы. Итак:

 

. .

Такая подстановка приводит вычисление исходного интеграла к интегрированию рациональной дроби.

Задача. Найти .

Сделаем замену переменной . Тогда

 

= .

Таким образом:

= .

 

Задача. Найти .

Используя замену , получаем

.

То есть .

 

Рассмотрим еще один класс интегралов – интегралы вида .

Поскольку , то данный тип интегралов можно вычислять, используя универсальную тригонометрическую подстановку. Однако существует замена переменной, которая позволяет вычислить этот интеграл более просто. Такой заменой является . Тогда , . После такой подстановки вычисление интеграла сводится к интегрированию рациональной дроби.

 

Задача. Найти .

Сначала убедимся, что данный интеграл действительно относится к указанному типу. Для этого преобразуем данное выражение

.

Выражение является правильной рациональной дробью и может быть разложено в сумму простейших рациональных дробей. Имеем

 

После приведения к общему знаменателю в правой и левой частях получаем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений

Решая эту систему, получаем

.

Следовательно

 

=

=

= .

Получаем = .

 

Задача. Найти

После замены переменной получаем

= .

Следовательно

= .

 

Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащих выражения , , .

В этих случая полезны следующие подстановки.

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Задача. Найти .

Сделаем замену . Тогда .

Следовательно

= .

Получаем = .

 

Задача. Найти .

Сделаем замену . Тогда , .

Следовательно

= .

Получаем .

Найти .

Сделаем замену . Тогда ,

.

Следовательно

= .

Получаем .

 

 

Интегралы вида .

Напомним некоторые формулы тригонометрии:

;

;

.

 

Задача. Найти .

Решение.

= .

 

Задача. Найти .

Решение.

= .

 

Задача. Найти .

Решение.

= .

 

Интегралы вида .

Рассмотрим два случая вычисления таких интегралов.

Первый случай – это когда, по крайней мере, один из показателей степени или является нечетным числом. Будем считать для определенности нечетным числом, то есть . Обозначим . Следовательно .

Тогда

= .

Полученное подынтегральное выражение является многочленом и его интегрирование не вызовет затруднений.

 

Задача. Найти .

Пусть . Тогда .

Имеем

=

.

 

Задача. Найти .

Пусть . Тогда .

Имеем

= .

 

Второй случай – оба показателя степени и являются четными числами.

В этом случае для понижения степени используются формулы

 

; .

 

 

Задача. Найти .

Решение.

=

=

=

=

= .

Таким образом = .

Замечания:

- при вычислении мы воспользовались формулой двойного угла ;

- при вычислении мы воспользовались правилом интегрирования в случае, когда, по крайне мере, одна из степеней нечетная.

 

Задача. Найти .

Решение.

=

=

= .

Получаем = .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.031 сек.)