АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от всех корней в подынтегральной функции

Читайте также:
  1. A. Характеристика нагрузки на организм при работе, которая требует мышечных усилий и энергетического обеспечения
  2. B. Пояснение сути принятия решения
  3. E. которая не обладает гибкостью и не может адаптировать свои свойства к окружающим условиям
  4. II. Основной этап.
  5. II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования
  6. III. КРИТЕРИИ ДОПУСКА К СДАЧЕ ИТОГОВОГО МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЯ (ЭКЗАМЕНА).
  7. III. Принятие решения, заполнение протоколов и комментарии
  8. III. Список основной и дополнительной литературы.
  9. III. Требования к структуре основной образовательной программы начального общего образования
  10. IV. Требования к условиям реализации основной образовательной программы начального общего образования
  11. Pациональная организация труда и отдыха в экзаменационный период
  12. VII семестр (экзаменационный цикл)

Отмечу, что эта замена немного своеобразная, ее техническая реализация отличается от «классического» способа замены.

В данном примере нужно провести замену , то есть, вместо «икса» под корнем у нас окажется . Почему замена именно такая? Потому-что , и в результате замены корень пропадёт.

Если бы в подынтегральной функции вместо квадратного корня у нас находился , то мы бы провели замену . Если бы там был – то и так далее.

Хорошо, у нас превратится в . Что произойдет с многочленом ? Сложностей нет: если , то .

Осталось выяснить, во что превратится дифференциал . Делается это так:

Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

Оформление решения должно выглядеть примерно так:

Проведем замену:

(1) Проводим подстановку после замены (как, что и куда, уже рассмотрено).

(2) Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на .

(3) Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат

(4) Интегрируем по таблице, используя формулу .

(5) Проводим обратную замену. Как это делается? Вспоминаем, от чего плясали: если , то .

 

 

Тема 11. Определенный интеграл (10 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 864 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

 

Вопрос для самостоятельного изучения

Приближенное вычисление определенного интеграла.

При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов.

Основной формулой интегрального исчисления является формула Ньютона-Лейбница:

,

где F(x) – любая первообразная для подынтегральной функции , a, b – нижний и верхний пределы интегрирования.

Согласно формуле Ньютона-Лейбница, для вычисления определенного интеграла необходимо:

а) найти какую-нибудь первообразную для подынтегральной функции;

б) вычислить значения этой первообразной, соответствующие верхнему и нижнему пределам интегрирования;

в) найти разность полученных значений первообразных.

Кроме того, при вычислении определенного интеграла используются его основные свойства:

1.

2.

3.

4. , k=const

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

 

Пример 1.1 Вычислить определенные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница: а) ; б)

Решение.

а) ;

б) .

 

Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна вместе со своей производной на , причем , , то определенный интеграл можно вычислить с помощью замены переменной по формуле

Порядок вычисления:

1) ввести новую переменную с помощью подстановки вида или ;

2) продифференцировать введенную в п.1 подстановку;

3) найти новые пределы интегрирования и c помощью формулы из п.1;

4) выразить все, что стоит под знаком интеграла, через новую переменную;

5) вычислить полученный интеграл. Если при вычислении определенного интеграла методом замены аккуратно выполнены п.1-4, то возвращаться к старой переменной не нужно, а можно вычислить интеграл, используя новую переменную.

 

Пример 1.2 Вычислить определенныйинтеграл методом замены переменной.

Решение.

 

 

 

Тема 12. Приложения определенного интеграла (6 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2007.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2002.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 864 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Вычисление длины дуги плоской кривой.

2. Приложения определенного интеграла к решению физических задач.

3. Подготовка к контрольной работе «Техника интегрирования и приложения определенного интеграла»

1. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пример 1.1. Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности .

Решение. Сделаем чертеж. Преобразуем уравнение окружности:

, , ;

. Это окружность с центром в точке (3; 0) и радиусом, равным 3 (рис. 11). Найдем точки пересечения окружности и параболы.

Для этого решим систему .

; ; ; .

, – не принадлежит области определения обеих функций.

Таким образом, абсциссами точек пересечения будут 0 и 2.

Вследствие симметрии достаточно найти длину половины дуги. Используем формулу: .

Найдем . Тогда

.

Таким образом, или (ед.).

 

2. Приложения определенного интеграла к решению физических задач

Пример 2.1. Скорость движения тела определяется по формуле м/с. Какой путь пройдёт тело за 5 сек?

Решение. Путь, пройдённый телом, определяется по формуле

,

.

 

Пример 2.2. Скорость падения парашютиста определяется по формуле , где g – ускорение свободного падения, m – масса парашютиста, k – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров парашюта. Определить, с какой высоты прыгал парашютист, если падение продолжалось три минуты.

Решение. Поскольку закон изменения скорости известен, то получим

.

Пример 2.3. В цилиндрическом сосуде заключен атмосферный воздух, объем которого = 0,1 м3. Цилиндр помещен в среду меньшей плотности, благодаря чему воздух в цилиндре расширяется, выталкивая поршень. Вычислить работу, совершаемую воздухом при расширении его до объема = 0,2 м3 (Температура воздуха поддерживается постоянной).

Решение. Как известно, объем газа, помещенного в закрытый сосуд, и производимое им давление при постоянной температуре связаны формулой (закон Бойля — Мариотта)

(1)

где .

По мере выталкивания поршня сила давления воздуха на поршень меняется. Разобьем весь путь движения поршня на п очень малых отрезков и будем считать, что на ка­ждом из этих отрезков давление воздуха постоянно, изме­няясь скачком при переходе от одного отрезка к следующему за ним. В таком случае работа силы давления на отрезке будет приближенно равна

, (2)

где р — давление воздуха на единицу площади, а S —площадь поршня. Приняв во внимание, что (по формуле объема цилиндра), (из равенства (1)), выражение (2) можно представить в виде

.

Складывая элементарные работы вида , получим приближенную работу силы давления воздуха при изменении его объема от до , т.е.

.

При

или

(3)

Для определения множителя примем во внимание, что в начальный момент объем воздуха равен 0,1 м3 и давление его нормальное, т. е. 10330 кГ/м2. Подставляя эти величины в равенство (1), найдем:

.

Заменив в равенстве (3) , и их значениями, получим:

.

 

 

Тема 13. Несобственные интегралы (12 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 864 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

 

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Исследование несобственных интегралов на сходимость

2. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Пример 1 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Решение. Исследовать данный несобственный интеграл на сходимость при помощи определения не представляется возможным. Воспользуемся тем, что для всех функция

удовлетворяет условию

.

Так как интеграл сходится (это было установлено на лекции), то в силу признака сравнения сходимости несобственных интегралов сходится и рассматриваемый интеграл.

 

Пример 2 Исследовать сходимость интеграла (интеграл Френеля).

Решение. Пусть ; тогда . Представим стоящий справа интеграл в виде суммы:

Первое слагаемое есть собственный интеграл, так как а ко второму применим интегрирование по частям, полагая

Последний интеграл сходится, так как а интеграл сходится. Поэтому сходится на основании признака сравнения, а следовательно, данный интеграл также сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла

Решение. Подынтегральная функция в промежутке интегрирования меньше, чем а интеграл является сходящимся. Следовательно, в силу признака сравнения, данный интеграл также сходится.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.017 сек.)