Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Конечная точка называется пределом функции при , если действительные функции и двух переменных и стремятся к пределам и , соответственно, при (или при ).

В этом случае пишут: или .

В определении и – конечные точки.

Точка называется пределом функции при , если действительная функция двух переменных и стремится к при (или при ).

Если , где и конечно или бесконечно удаленные точки, то для любого можно найти такое число , что для всех точек , удовлетворяющих неравенству следует неравенство

.

Все теоремы о конечных пределах из действительного анализа остаются в силе для функций комплексного переменного. Например, если существуют пределы

тогда

Пример 1.1 Найти предел последовательности .

Решение. , т.к. , и .

Пример 1.2 Вычислить следующие пределы:

а) ; б) .

Решение.

а)

б)

.

Знаменатель:

.

Функция , заданная в области D, называется непрерывной в точке , если

Иными словами: функция непрерывна в точке , если для любого числа можно указать такое число что для всех точек , удовлетворяющих условию имеет место неравенство

Для непрерывности функции комплексной переменной

в точке необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части, т.е. функции и были непрерывны в точке по совокупности переменных x и y.

Функция комплексного переменного называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Сумма, разность и произведение двух функций комплексного переменного и , непрерывных в области D, также являются непрерывными функциями в этой области, а функция непрерывна в тех точках области D, где

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

Пример 1.3 Дана линейная функция

где a и b – комплексные постоянные. Доказать, что в точке она имеет предел, равный

Доказательство. В самом деле, возьмем произвольное число . Так как

то, выбрав в качестве число будем иметь при . Это означает, что есть предел функции в точке .

Поскольку

то тем самым доказано, что в любой точке линейная функция непрерывна.

Пример 1.4 Показать, что функция непрерывна при любом значении z.

Решение. Возьмем произвольную точку и произвольное число . Так как значение функции в точке равно то покажем, что существует число такое, что при

Если , то найдется такое число M >0, что и . Тогда

Если положить , то из неравенства будет следовать, что

т.е. при любом функция является непрерывной.

Поиск по сайту: