Дифференцирование сложной и обратной функций

Приведем правило, по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)).

Теорема 1 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция x = f (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f (t). Тогда сложная функция y = f( f (t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

Пример 1. Найти y', если y = 5^{cos x}.

y' = 5^{cos x} (-sin x)ln 5=-5^{cos x} sin x ln 5.

Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема

Теорема 2 (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)≠ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^- 1 (y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^- 1 (y) и для ее производной справедлива формула

(f^- 1(y)) ' = 1 /f' (x). (2)

Данная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M – точка графика функции f(x), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f^-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона b той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона a+ b=p/2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tgb = 1/tga.

Пример 6. Найти x'_y, если y = 2x³+3x⁵+x Имеем y' = 6x²+15x⁴+1, тогда x'_y = 1/y'_x = 1/(6x²+15x⁴+1).

Основное внимание при изучении второго учебного вопроса следует уделить нахождению производных функций, заданных параметрически.

Если функция задана параметрическими уравнениями

,

то ее производная вычисляется по формуле

Пример 1.1 Найти производные функций

а) б)

Решение.

а) Данная функция является сложной. Предварительно, пользуясь правилом логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

б) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у’, находим предварительно дифференциалы dx и dy и затем берем отношение этих дифференциалов

Во втором учебном вопросе следует обратить внимание на то, что формула Лейбница дает возможность вычислить производную n -го порядка от произведения двух функций :

Пример 2.1 Дано . Найти .

Решение. Последовательно дифференцируя, находим

.

В третьем учебном вопросе наиболее подробно рассмотреть правила дифференцирования по n-го порядка.

Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим

Сопоставим эти выражения со степенями бинома :

Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n =1,2,3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :

.

Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n, получим формулу Лейбница,

где - биномиальные коэффициенты:

Строгое доказательство формулы Лейбница основывается на методе математической индукции.

Тема 8. Исследование функций с помощью производных (12 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 1. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 680 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Исследование функций и построение графиков

Если функция y = (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то согласно теореме Вейерштрасса, она достигает своего наименьшего «m» и наибольшего «М» значения на этом интервале. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться во внутренних точках интервала (a, b) и тогда это экстремальные значения, либо на концах интервала. Задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции называется задачей на минимакс и состоит из следующих этапов:

1. Находятся все критические точки, принадлежащие заданному интервалу х₁, х₂, …, х_k.

2. Вычисляют значения функции в критических и граничных точках.

3. Находят наименьшее из этих значений и наибольшее.

Пример 1.1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение.

В указанном интервале критических точек нет.

y (-0,5) = 1,375 — наибольшее значение

y (+0,5) = -1,375 — наименьшее значение

Схема исследования функций и построения графиков:

1. Описание области определения данной функции.

2. Некоторые свойства функции: четность, нечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат.

3. Характерные точки первой производной

.

4. Характерные точки второй производной

.

5. Таблица с учетом всех характерных точек.

6. Асимптоты графика функции.

7. Дополнительные точки (если характерных точек нет, либо их мало).

Пример 1.2 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так: х²-6х+10=(х-3)²+1. Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента х. Следовательно, область существования данной функции служит вся числовая ось.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.

3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(-х)¹ -у(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:

Знаменатель х²-6х+10 >0 для любого значения х. Как видно, при х <3 первая производная отрицательна, а при х >3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функция имеет минимум:

Итак, А (3;0) – точка минимума (см. рис. 1). Функция убывает на интервале (-¥,3) и возрастает на интервале (3,+¥).

Рис. 1.

5. Определяем точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:

Разобьем всю числовую ось на три интервала: (-¥,2), (2,4), (4,+¥). Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При х₁ =2 и х₂ =4 вторая производная меняет свой знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:

Следовательно, Р₁ (2;ln2) и Р₂ (4;ln2) – точка перегиба графика функции. График является выпуклым в интервалах (-¥,2) и (4,+¥) и вогнутым в интервале(2,4).

6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты у=kx+b воспользуемся формулами:

Имеем

Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:

Итак, кривая не имеет асимптот. График исследуемой функции показан на рис. 1.

Пример 1.3 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция терпит разрыв при х =2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как у(-х)¹у(х) и у(-х)¹ -у(х).

3. Исследуем функцию на экстремум, используя второй достаточный признак экстремума: если в стационарной точке х₀ вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция f(x) имеет максимум при f’’(x₀)<0 и минимум при f’’(x₀)>0. Находим первую производную:

(1)

или

Как видно, первая производная равна нулю при х =1 и х =3 и не существует при х =2. Так как при х =2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную у’’:

Сократив на (х-2) и выполнив преобразования в числителе, получим

(2)

Так как , то при х₁ =1 функция имеет максимум. Так как , то при х₂ =3 функция имеет минимум.

Вычислим значения функции в точках экстремума: у(1)=3; у(3)=7. Следовательно, А (1;3) – точка максимума, В (3;7) – точка минимума.

4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.

5. Определим асимптоты графика функции. х =2 есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:

Следовательно, у=х+3 – уравнение наклонной асимптоты. График исследуемой функции приведен на рис. 2.

Рис. 2 Рис. 3

Пример 1.4 Расстояние от центральной усадьбы совхоза до районного центра, расположенного у асфальтированной прямолинейной дороги составляет 26 км (отрезок АВ на рис. 3), а кратчайшее расстояние от центральной усадьбы до этой дороги – 10 км (отрезок АС). Скорость велосипедиста на асфальтированной дороге равна 20 км/ч, а за ее пределами – 12 км/ч. Найти минимальное время, в течение которого велосипедист преодолеет путь от центральной усадьбы до районного центра.

Решение. Пусть CD = х, тогда . Путь велосипедиста состоит из двух участков AD и BD. На первом участке его скорость равна 12 км/ч, на втором – 20 км/ч. Время, затраченное велосипедистом на весь путь,

(3)

(Из прямоугольного треугольника АВС следует, что ВС =24; следовательно, BD =24- х).

Исследуем функцию (3) на экстремум. Найдем первую производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение. Имеем

(4)

откуда

Определим знак производной (4) при х <7,5 и при х >7,5.

При х =7,5 производная изменяет знак с минуса на плюс; значит, при этом значении аргумента функция имеет минимум. Подставив в (3) х =7,5, получим

Таким образом, минимальное время нахождения в пути велосипедиста составляет 1 ч 52 мин.

Заметим, что при х =0, т.е. если выбрать кратчайший путь до асфальтированной дороги, а затем двигаться по ней, то время в пути составит у(0)= 2ч 02 мин. Если же выбрать прямой путь по не асфальтированной дороге (т.е. при х =24), то время в пути составит 2 ч 10 мин.

Поиск по сайту: