Дифференцирование функции комплексного переменного

Пусть функция определена в некоторой области D комплексного переменного z. Пусть точки z и принадлежат области D. Обозначим

Функция называется дифференцируемой в точке , если отношение имеет конечный предел при , стремящемся к нулю произвольным образом. Этот предел называется производной функции в данной точке z и обозначается символом (или , или ), так что по определению

Если , то в каждой точке дифференцируемости функции выполняются соотношения

называемые условиями Коши-Римана.

Обратно, если в некоторой точке функции и дифференцируемы как функции действительных переменных x и y и, кроме того, удовлетворяют соотношениям Коши-Римана, то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексного переменного z.

Функция называется аналитической в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности.

Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Для любой аналитической функции имеем

(1)

Пример 2.1 Найти постоянные a, b, c при которых функция , будет аналитической.

Решение. Условия Коши-Римана:

Таким образом,

является аналитической функцией.

Пример 2.2 Показать, что функция является аналитической во всей комплексной плоскости.

Решение. Имеем

так что

Функции и как функции действительных переменных x и y дифференцируемы в любой точке (они имеют непрерывные частные производные любого порядка) и при этом удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Следовательно, функция всюду аналитическая. Для получаем согласно формуле (1)

Итак,

Раздел 8. Ряды

Тема 17. Числовые ряды (12 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 2. – М.: «Интеграл Пресс», 2007.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с

5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 864 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопрос для самостоятельного изучения

Интегральный признак Коши.

В основе интегрального признака Коши лежит следующая теорема.

Теорема. (Интегральный признак Коши). Пусть дан положительный ряд члены которого монотонно убывают и существует функция f (x) такая, что

1) f (x) определена и непрерывна при

2) f (x) >0 и монотонно убывает при

3) f (n) = a_n.

Тогда: 1) Если (сходится), то и (сходится).

2) Если (расходится), то и (расходится).

Классическим примером использования интегрального признака является исследование обобщенного гармонического ряда.

Пример 1.1 Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

если p> 0.

Решение. Рассмотрим Очевидно, что f (x) удовлетворяет всем выдвинутым условиям вышеуказанной теоремы.

1. Пусть p> 1.

Следовательно, в случае p> 1

2. Пусть p< 1.

Поэтому

3. Пусть p= 1 (как гармонический ряд). Хотя и в этом случае можно было бы применить интегральный признак.

Пример 1.2 Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Применяя интегральный признак Коши, получаем

,

следовательно, данный ряд расходится.

Тема 18. Функциональные ряды (6 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 2. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – 5 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с. (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений).

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

7. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.1 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды.: Учебник – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 400 с.

8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с

Вопрос для самостоятельного изучения

1. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим предварительно разложения в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.

Пример 1.1 Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=e^x

Решение. Эта функция имеет производные всех порядков на интервале (- a, a), где a> 0 – любое число, причем

Следовательно, показательная функция е^х разлагается в ряд Тейлора на любом интервале (- a, a) и, тем самым, на всей оси Ох. Так как , то получаем ряд

(1)

Радиус сходимости этого ряда R =+∞.

Если в разложении (1) заменить х на – х, то будем иметь

(1’)

Пример 1.2 Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=sin x

Решение. Данная функция имеет производные любого порядка, причем

для n =0, 1, 2, … и Тем самым, по теореме о разложимости функции в ряд Тейлора функция sin x разлагается в сходящейся к ней на интервале (-∞, +∞) ряд Тейлора. Так как

то этот ряд имеет следующий вид

(2)

Радиус сходимости ряда R =+∞.

Пример 1.3 Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)= cos x

Решение. Аналогично получаем, что

(3)

Перейдем далее к разложению в ряды Тейлора (Маклорена) более сложных функций.

Пример 1.4 Разложить в ряд по степеням x функцию

Решение. Найдем значения функции и ее производных при :

Так как 0<ln2<1, то при фиксированном x имеет место неравенство для любого n. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:

В данном случае

Это разложение можно получить иначе: достаточно в разложении

заменить x на x ln2.

Пример 1.5 Разложить в ряд по степеням x функцию

Решение. Продифференцируем функцию раз:

Находим значения функций в точке а значение определяем в точке . Получаем

Находим остаточный член:

т.е.

Так как при любом x, а — величина ограниченная, то Следовательно, функцию можно представить в виде суммы ряда Маклорена:

Задачу можно решить иначе. В равенстве заменим его разложением в степенной ряд:

Выполнив несложные преобразования, получим найденное выше разложение

На следующем примере рассмотрим применение разложения функций в степенные ряды для вычисления интегралов.

Пример 2.1 Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд (ряд Маклорена) функции sinx, будем иметь

Тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,0001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,

Поиск по сайту: