Тема 21. Уравнения математической физики (12 часов)

Литература:

5. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 2. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

7. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. – М.: Наука, 1989.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Движение несжимаемой жидкости. Задача обтекания

Общие положения

Пусть – некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

(1)

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u (х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

Задача.

Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости.

Пусть – вектор скорости движения жидкости, –ее плотность, – интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри ω в единицу времени равно

с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q₁ жидкости за счет источников

минус количество Q₂, вытекающей через S

– формула Остроградского-Гауса,

где – внешняя нормаль к S, таким образом

В силу произвольности ω

Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии

Пусть u –потенциал скоростей, т.е. тогда

и

,

поэтому

.

Поиск по сайту: