Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х²+у²+z²-4=0 определяет функции определенные в круге х²+у²≤4, определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x₀;y₀;z₀), причем F(x₀;y₀;z₀)=0, а F'z(x₀;y₀;z₀)≠0, то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х₀;у₀) и такую, что ƒ(х₀;у₀)=z₀.

б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример. Найти частные производные функции z, заданной уравнением e^z+z-х²у+1=0.

Решение: Здесь F(x;y;z)=e^z+z-х²у+1, F'_x=-2ху, F'_y = -х2, F'_z=e^z+1. По формулам (44.12) имеем:

Пример. Найти если неявная функция у=ƒ(х) задана уравнением у³+2у=2х.

Решение: Здесь F(x;у) = у³+2у-2х, F'_x=-2, F'_y = 3у²+2. Следовательно,

Тема 15. Экстремумы функций нескольких переменных (4 часа)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменной. Гармонический анализ.: Учебник – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 424 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3-х томах. – М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003.

6. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопрос для самостоятельного изучения

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Усл о вный экстр е мум, относительный экстремум, экстремум функции f (x₁,..., x_{n + m}) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

j _k (x₁,..., x_{n + m}) = 0, 1£ k £ m (*)

Точнее, функция f имеет у сл о вный экстр е мум в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае у сл о вный экстр е мум функции f (x,у) при условии j(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую j(х, у) = 0. В точке У. э. линия j(х, у)= 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня функции f (x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание у сл о вного экстр е мума функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_{1 + 1}.., x_{n + m} из уравнения (*) через x₁,..., x_n и подставив эти выражения в функцию f Др. метод решения – Лагранжа метод множителей.

Лагр а нжа м е тод мн о жителей, метод решения задач на условный экстремум; Лагр а нжа м е тод мн о жителей заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — т. н. функции Лагранжа.

Для задачи об экстремуме функции f (х₁, x₂,..., x_n) при условиях (уравнениях связи) j _i (x₁, x₂,..., x_n) = 0, i = 1, 2,..., m, функция Лагранжа имеет вид

.

Множители y₁, y₂,..., ym называют множителями Лагранжа.

Если величины x₁, x₂,..., x_n, y₁, y₂,..., ym суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

, i = 1, …, n; , i = 1, …, m,

то при достаточно общих предположениях x₁, x₂,..., x_n доставляют экстремум функции f. Функция Лагранжа L применяется также при исследовании задач вариационного исчисления и математического программирования. Впервые Лагр а нжа м е тод мн о жителей был предложен в 1797 Ж. Лагранжем в связи с задачами дифференциального исчисления.

Задачи на условный экстремум возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа.

Поиск по сайту: