|
|||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Раздел 3. Введение в математический анализТема 5. Элементы теории функций (2 часа) Литература: 1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009. 3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010. 4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с. 5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с. 6. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с. Вопрос для самостоятельного изучения Основные элементарные функции и их графики.
Основными элементарными функциями (их изучают в курсе средней школы) являются: 1. Степенная функция
Рис. 1. Парабола
Рис. 3. Равноосная гипербола
2. Показательная функция
Рис. 5. Графики показательных функций
3. Логарифмическая функция
Рис. 6. Логарифмическая кривая
4. Тригонометрические функции
5. Обратные тригонометрические функции
Тема 6. Вычисление пределов. Непрерывность функции (16 часов) Литература: 1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009. 3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010. 4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с. 5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с. 6. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.1 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды.: Учебник – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 400 с. 7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с. Вопросы для самостоятельного изучения 1. Эквивалентные бесконечно малые. Основные теоремы. 2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу 1) 2) 3) 4) 5) Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место. 6)
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом: и мы доказали формулу 6. В частном случае, при
7) В частном случае, при
Пример 1.1 Вычислим предел Мы заменили Пример 1.2 Вычислим предел Заменим в числителе
Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе Пример 1.3 Вычислим предел Если сделать замену Мы применили табличную формулу Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины. Пример 1.4 Можно, например, получить следующую формулу:
Здесь мы последовательно воспользовались формулами и учли, что величины Используя полученную в результате эквивалентность мы можем, например, вычислить предел
При рассмотрении второго вопроса необходимо вспомнить способы задания функций и свойства функций непрерывных на отрезке. Пример 2.1 Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:
Рис. 1. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва. Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (- ¥, -2), (-2, 1) и (1, + ¥). При х =-2 и х =1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х =-2: Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке х =1: Так как односторонние пределы функции у в точке х =1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода. Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельным значениями. Следовательно, в точке х =1 скачок функции График функции показан на рис. 1.
Пример 2. 2 Дана функция Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента х1 =-2 и х2 =3; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [-6; 6]. Решение. Если ищется предел функции у=f(х) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению a, может принимать только такие значения, которые меньше a, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке х=a и условно обозначается так: Функция у=f(х) непрерывна при х=a, если выполняются следующие условия: 1) функция у=f(х) определена не только в точке a, но и в некотором интервале, содержащем эту точку; 2) функция у=f(х) имеет при х®a конечные и равные между собой односторонние пределы; 3) односторонние пределы при х®a совпадают со значением функции в точке a, т.е.
Если для данной функции у=f(х) в данной точке х=a хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х=a. Разрыв функции у=f(х) в точке х=a называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода. При х =-2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х® -2 слева и справа
так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным;
так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным. Таким образом, при х =-2 данная функция имеет разрыв второго рода. При х =3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции. Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных). Чтобы построить эту гиперболу на заданном отрезке, составим следующую таблицу:
График функции показан на рис. 2.
Рис. 2.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.015 сек.) |