Раздел 3. Введение в математический анализ

Тема 5. Элементы теории функций (2 часа)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

6. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопрос для самостоятельного изучения

Основные элементарные функции и их графики.

Основными элементарными функциями (их изучают в курсе средней школы) являются:

1. Степенная функция . Примеры графиков степенных функций изображены на рисунках 1-4.

Рис. 1. Парабола . Рис. 2. Кубическая парабола .

Рис. 3. Равноосная гипербола . Рис. 4. Кубическая парабола .

2. Показательная функция . Примеры графиков показательных функций изображены на рисунке 5.

Рис. 5. Графики показательных функций и .

3. Логарифмическая функция . Пример графика логарифмической функции изображен на рисунке 6.

Рис. 6. Логарифмическая кривая .

4. Тригонометрические функции

.

5. Обратные тригонометрические функции

.

Тема 6. Вычисление пределов. Непрерывность функции (16 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1. – М.: «Интеграл Пресс», 2009.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1998. – 460 с.

6. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.1 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды.: Учебник – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 400 с.

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Эквивалентные бесконечно малые. Основные теоремы.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) (). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

7) (). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

Пример 1.1 Вычислим предел . Для этого в числителе вынесем за скобку , а к знаменателю применим формулу , где , . Получим

Мы заменили на эквивалентную величину (учтя при этом, что при ), на эквивалентную величину (учтя, что при ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции и непрерывны и что и .

Пример 1.2 Вычислим предел

Заменим в числителе на эквивалентную величину , а знаменатель -- на эквивалентную величину . После этого можно будет сократить дробь на и получить ответ:

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах и . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Пример 1.3 Вычислим предел .

Если сделать замену , то при новая переменная будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база перейдёт при такой замене в "стандартную" базу . Подставляя и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:

Мы применили табличную формулу , а затем сократили дробь на и получили ответ.

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Пример 1.4 Можно, например, получить следующую формулу:

Здесь мы последовательно воспользовались формулами

и учли, что величины , , , являются бесконечно малыми при .

Используя полученную в результате эквивалентность

мы можем, например, вычислить предел

При рассмотрении второго вопроса необходимо вспомнить способы задания функций и свойства функций непрерывных на отрезке.

Пример 2.1 Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:

Рис. 1.

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.

Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (- ¥, -2), (-2, 1) и (1, + ¥). При х =-2 и х =1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х =-2:

Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке х =1:

Так как односторонние пределы функции у в точке х =1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельным значениями. Следовательно, в точке х =1 скачок функции .

График функции показан на рис. 1.

Пример 2. 2 Дана функция

Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента х₁ =-2 и х₂ =3; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [-6; 6].

Решение. Если ищется предел функции у=f(х) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению a, может принимать только такие значения, которые меньше a, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке х=a и условно обозначается так:

Функция у=f(х) непрерывна при х=a, если выполняются следующие условия: 1) функция у=f(х) определена не только в точке a, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2) функция у=f(х) имеет при х®a конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при х®a совпадают со значением функции в точке a, т.е.

Если для данной функции у=f(х) в данной точке х=a хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х=a.

Разрыв функции у=f(х) в точке х=a называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.

При х =-2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х® -2 слева и справа

так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным;

так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным.

Таким образом, при х =-2 данная функция имеет разрыв второго рода. При х =3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции.

Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных).

Чтобы построить эту гиперболу на заданном отрезке, составим следующую таблицу:

График функции показан на рис. 2.

Рис. 2.

Поиск по сайту: