Раздел 1. Элементы линейной алгебры и геометрии

Начальник кафедры высшей

Математики и системного моделирования

сложных процессов

подполковник внутренней службы

______________ В.В. Попов

«____»____________ 2012 года

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

СМК-УМК-4.4.2-32-12

Обсуждены на заседании

ПМК-2 (Высшая математика)

Протокол № 12 от 10.07.2012

Санкт-Петербург

Раздел 1. Элементы линейной алгебры и геометрии

Тема 1. Матрицы и определители, их приложения (18 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. – М.: Наука, 1998.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 1. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 680 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений)

5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопрос для самостоятельного изучения

1. Решение систем линейных уравнений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

.

Решение. Вычислим основной определитель системы D.

, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем D₁, D₂ и D₃, получим

Отсюда х ₁ = = 4; х ₂ = = 2; х ₃ = =1, т.е. решением системы являются числа х ₁ = 4; х ₂ = 2; х ₃ = 1.

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений из примера 1 методом обратной матрицы:

Решение. Запишем основную матрицу системы и найдем ее определитель

А = ; | А | = 5.

Так как определитель не равен нулю, то матрица А имеет обратную. Найдем обратную матрицу, получим (см. предыдущий пример):

А ^-1 = = .

Найдем решение системы

Х = А ^-1 В = = = .

Таким образом, решением системы является тройка чисел: х ₁=4, х ₂=2, х ₃=1.

(Результат тот же, что и после применения формул Крамера).

1.1 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

При изучении данного учебного вопроса следует иметь в виду, что численное решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера или с помощью нахождения обратной матрицы, удобно для систем двух или трех уравнений. В случае же систем большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Поясним смысл метода Гаусса на системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными x, y, z и u:

(1)

Допустим, что (если , то изменим порядок уравнений, выбрав первым уравнение то, в котором коэффициент при x не равен нулю).

Первый шаг:

а) делим первое уравнение на ;

б) умножаем полученное уравнение на и вычитаем из второго уравнения; затем умножаем на и вычитаем из третьего уравнения; наконец, умножаем на и вычитаем из четвертого.

В результате первого шага будем иметь систему

(2)

причем получаются из по следующим формулам:

(j = 2, 3, 4, 5)

(i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4, 5).

Второй шаг:

Поступаем со вторым, третьим и четвертыми уравнениями системы (2) точно так же, как с первым, вторым, третьим и четвертым уравнениями системы (1) и так далее. В итоге исходная система преобразуется к так называемому треугольному или ступенчатому виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно и без труда. Очевидно, что полученная система эквивалентна системе (1).

Аналогично метод Гаусса применяется к системе линейных уравнений любой размерности.

Пример 3. Решить методом Гаусса следующую систему линейных уравнений:

Решение. Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему эквивалентную данной:

Разделив обе части второго уравнения полученной системы на 2, получим систему

Теперь исключим из третьего уравнения последней системы х₂. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на -7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

(3)

Откуда без труда получаем х₃ =3, х₂ =1 и х₁ =-2.

Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т.е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

Умножим элементы первой строки матрицы на -5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на -3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Разделив элементы второй строки на 2, получим

Элементы второй строки умножим на -7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

Тема 2. Векторная алгебра (8 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. – М.: Наука, 1998.

4. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебное пособие. – М.: Наука, 1997.

5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопрос для самостоятельного изучения

1. Применение векторного и смешанного произведений для вычисления площадей и объемов:

· операции над векторами;

· разложение вектора по базису;

· вычисление площадей с помощью векторного произведения векторов;

· вычисление объемов с помощью смешанного произведения векторов.

Кроме линейных операций существуют понятия различных произведений векторов (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов), имеющие важные практические применения.

1. Скалярное произведение векторов

2. Векторное произведение векторов.

3. Смешанное произведение векторов

Пример 1. Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А (2;1;0),

В (3;-1;2), С (13;3;10), D (0;1;4). Требуется: 1) записать векторы в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD.

Решение.

1. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой:

(1)

где а_х, а_у, а_z – проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Оz, а i, j, и k – единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Оz. Если даны точки М₁ (х₁;у₁;z₁) и М₂ (х₂;у₂;z₂), то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

(2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор :

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор :

Если вектор а задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле

(4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

Модули этих векторов уже найдены: . Следовательно,

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

4. Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор Р. Тогда, как известно, модуль вектора Р выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора Р:

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение :

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды АВСD равен 24 куб. ед.

Тема 3. Элементы аналитической геометрии (20 часов)

Литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2008.

2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2010.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 2 / Н.С. Пискунов. – изд., стер. – М.: «Интеграл Пресс», 2007. – 544 с. (Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов Вуза).

4. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебное пособие. – М.: Наука, 1997.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. – СПб: Профессия, 2007. – 432 с.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец – 4-е изд.–М.:Высшая школа, 1998. – 460 с.

7. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Взаимное расположение плоскостей.

2. Взаимное расположение прямых в пространстве.

3. Взаимное расположение прямой и плоскости.

4. Поверхности второго порядка.

5. Подготовка к контрольной работе №1 «Элементы алгебры и геометрии»:

· вычисление определителей; действия над матрицами;

· решение систем линейных уравнений;

· действия над векторами;

· прямая и плоскость;

· кривые второго порядка.

Пример. Даны координаты четырех точек: А (0;-2;-1), В (2;4;-2), С (3;2;0) и М (-11;8;10). Требуется: 1) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) составить канонические уравнения прямой, проходящий через точку М перпендикулярно плоскости Q и с координатными плоскостями хОу, хОz и уОz; 4) найти расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А (х₁;у₁;z₁), В (х₂;у₂;z₂), С (х₃;у₃z₃), имеет вид

(1)

Подставляя в (1) координаты точек А, В и С, получим:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости Q:

(2)

2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

(3)

где х₀, у₀, z₀ – координаты точки, через которую проходит прямая (3), а m, n, p – направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку М (-11;8;10) и перпендикулярна плоскости Q. Следовательно, подставив в (3) координаты точки М и заменив числа m, n и p соответственно числами 2;-1;-2 [коэффициенты общего уравнения плоскости (2)], получим

(4)

3. Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнения прямой (4) в параметрическом виде. Пусть , где t – некоторый параметр. Тогда уравнения прямой можно записать так:

(5)

Подставляя (5) в (2), получим значение параметра t:

Подставив в (5) t= 6, находим координаты точки Р пересечения прямой (4) с плоскостью (2):

Пусть Р₁ – точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью хОу; уравнение этой плоскости z =0. При z =0 из (5) получаем

Пусть Р₂ – точка пересечения прямой (4) с плоскостью хОz; получаем уравнение этой плоскости у =0. При у =0 из (5) получаем

Пусть Р₃ – точка пересечения прямой (4) с плоскостью уОz.

Уравнение этой плоскости х =0. При х =0 из (5) получаем

4. Так как точка М лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости Q и пересекается с ней в точке Р, то для нахождения расстояния от точки М до плоскости Q достаточно найти расстояние между точками М и Р:

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), - гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М - произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , - основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях составят поверхность F’. Будем говорить, что поверхность F’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L - направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

Поиск по сайту: