Предметная область «Физика»

Модель «Движение пули» [16]

Математическая модель.

Пуля, двигаясь со скоростью , пробивает стену толщиной и вылетает из нее. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, дифференциальное уравнение имеет вид

.

Знак минус взят в связи с тем, что сила сопротивления стены направлена в сторону, противоположную направлению скорости.

Модель «Радиоактивный распад» [25]

Математическая модель.

Радиоактивным распадом называются самопроизвольные превращения ядер атомов некоторых элементов в ядра других элементов, сопровождающимися альфа-, бета- и гамма-излучением. Радиоактивный распад носит статистический характер: ядра атомов распадаются не одновременно все сразу, а в течение всего времени существования данного изотопа. При этом установлено, что количество атомов распадающихся в единицу времени, составляет определенную, постоянную для каждого изотопа часть его нераспавшихся атомов. Эта часть называется постоянной распада и обозначается буквой .

Таким образом, число атомов , распавшихся за время , равно , где – число нераспавшихся атомов в момент времени , и мы емеем дифференциальное уравнение

.

Знак минус показывает, что число нераспавшихся атомов с течением времени уменьшается.

Модель «Охлаждение тела» [15, 16]

Математическая модель.

Природа переноса тепла от чая к окружающему пространству сложна и в общем включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопроводности. В том случае, когда разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, скорость изменения температуры объекта можно считать пропорциональной этой разности температур. Это утверждение более строго можно сформулировать на языке дифференциального уравнения:

,

где – температура тела, – температура окружающей среды, – коэффициент остывания.

Модель «Поглощение света при прохождении через воду» [16]

Математическая модель.

Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. Обозначим через световой поток, падающий на поверхность на глубине . При прохождении через слой воды толщиной поглощенный световой поток равен

,

где – коэффициент пропорциональности ().

Модель «Ионизация газа» [16]

Математическая модель.

Под действием постоянного излучения в газовой среде происходит процесс ионизации, при котором за одну секунду образуется положительных и столько же отрицательных ионов в данном объеме газа. Вследствие того, что положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой, количество их убывает. Принимая, что из общего количества положительных ионов в каждую секунду соединяется часть, пропорциональная квадрату их количества (коэффициент пропорциональности зависит от природы и состояния газа), установим зависимость количества ионов от времени . Дифференциальное уравнение процесса ионизации

.

Модель «Траектория всплытия подводной лодки» [32]

Математическая модель.

Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени на глубине от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью , получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность стала меньше плотности воды , невелик, то можно считать, что в момент на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна , где – ускорение свободного падения, – объем подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, - разность между и весом тела , а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно

.

Координата , характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:

.

Модель «Свободное падение тела с учетом сопротивления среды» [24]

Математическая модель.

Скорость падения тела обозначим . При увеличении скорости падения с течением времени, сопротивление среды также возрастает. При малых скоростях сила сопротивления среды равна , где , – динамическая вязкость среды, – радиус шарика. , – коэффициент лобового сопротивления, – площадь поперечного сечения, – плотность среды.

Сила тяжести тела равна . Через некоторое время после начала падения движение станет равномерным, поэтому сила тяжести сравняется с силой сопротивления, т. е. .

Таким образом, математическая модель движения тел с учетом сопротивления среды следующая: . Проецируя это уравнение на ось, направленную вертикально вниз получим:

.

Изучите модель, учитывая, что падающие тело – это деревянный шар, а среда - воздух. Замечание: , кг/м³, м/с², , , HC/м², кг/м³.

Поиск по сайту: