 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Задание к непрерывной модели логистического роста
Семинар 2
Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением.
Непрерывная модель экспоненциального роста в неограниченной среде
В основе этой модели, предложенной Мальтусом в 1798 г., лежит предположение, что прирост численности вида пропорционален этой численности и интервалу времени, за который произошел прирост:
DX = r×X×Dt
Здесь r – константа собственной скорости роста популяции.
Совершив предельный переход, получим линейное дифференциальное уравнение:
dX/dt = r×X,
решением которого является функция
X(t) = X0×exp(r×t),
где X0 – начальная численность популяции.
Пример применения модели Мальтуса – описание развития однородной популяции в условиях неограниченных ресурсов питания (рост клеточной культуры, пока не начнет истощаться среда).
Задание к модели экспоненциального роста.
Изучение влияния параметра r (скорость роста) на форму кривой роста.
Постройте три графика для разных скоростей роста, исходя из одинаковой начальной численности.
(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<100)
Начальная численность: 10
Скорость роста: 0.05
0.1
0.2
Зарисуйте в тетрадь все три графика в одних координатных осях.
2. Непрерывная модель логистического роста
Модель логистического роста была предложена Ферхюльстом в 1938 г. для описания развития популяции в условиях ограниченных ресурсов питания. В основу модели положено уравнение
dX/dt = r×X - b×X2,
которое приводится к виду
dX/dt = r×X (1 – X/K)
Член (- b×X2), пропорциональный количеству встреч между особями, учитывает «самоотравление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренция за ресурсы питания, выделение в среду вредного метаболита и др.). Коэффициент b называется коэффициентом внутривидовой конкуренции. Величина К = r/b соответствует устойчивому стационарному состоянию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции и называется «емкостью среды», Параметр r называется скоростью роста и характеризует способность популяции к увеличению численности. Решением дифференциального уравнения является функция
X(t) = X0×exp(r×t)/(1+ X0×(exp(r×t)-1)/K),
где X0 – начальная численность популяции.
Характер логистической кривой зависит от величины параметров r и K и от начальной численности X0.
Задание к непрерывной модели логистического роста.
1. Изучение влияния собственной скорости роста на динамику численности популяции.
Постройте кривые роста для трех разных значений скорости роста.
(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<1500)
Начальная численность: 10
Емкость среды: 1000
Скорость роста: 0.2
0.5
1.0
Зарисуйте три графика в одних координатных осях.
Для одного из графиков определите фазы экспоненциального, линейного и стационарного роста.
Для каждого графика определите момент, в который скорость роста популяции начинает уменьшаться.
2. Изучение влияния начальных условий на форму кривой роста.
Постройте графики для трех разных начальных численностей.
(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<1500)
Скорость роста 0.5
Емкость среды 1000
Начальная численность: 10
Зарисуйте три графика в одних координатных осях.
При какой начальной численности кривая имеет точку перегиба?
3. Модель с нижней и верхней критическими границами численности популяции.
В реальных условиях численность популяции не должна опускаться ниже некоторой критической величины. При падении плотности популяции ниже критической величины время, в течение которого может состояться оплодотворение, становится больше времени жизни одной особи, точнее, времени, в течение которого особь способна к размножению. В этом случае популяция вымирает. Учесть эти процессы позволяет модель:
dX/dt = r×X2/(b+c×X) - d×X - p×X2
Здесь член (r×X2)/(b+c×X) отражает тот факт, что в двуполых популяциях при малых численностях скорость роста пропорциональная вероятности встреч особей разного пола
(r×X2), а при больших численностях - количеству самок в популяции (X×r/c). Слагаемое (-d×X) описывает естественное вымирание особей, слагаемое (- p×X2) – самоограничение вида.
Модель имеет три стационарных решения: два устойчивых (X1 = 0 и X3 = K) и одно неустойчивое (X2 = L, 0<L<K). Неустойчивое решение (X2 = L) соответствует нижней критической границе численности, а одно из устойчивых (X3 = K) – верхней критической границе.
Поиск по сайту: