Ход работы. Ниже будет рассмотрен пример нахождения матрицы сложного однородного преобразования, описывающего последовательность вращений и переносов

Ниже будет рассмотрен пример нахождения матрицы сложного однородного преобразования, описывающего последовательность вращений и переносов.

Для нахождения матрицы сложного однородного преобразования необходимо найти матрицы простых однородных преобразований и последовательно перемножить их.

Нахождение матрицы простых однородных преобразований размера 4х4 сводится к вычислению косинусов углов между осями (матрица вращения размера 3х3) и заполнению матрицы переноса (размера 3х1), входящую в состав матрицы преобразования.

Пример

Найдем выражение для матрицы сложного однородного преобразования, которое получим последовательным выполнением следующих преобразований:

a. вращение на угол (ψ+90°) относительно оси x;

b. перенос на a единиц вдоль оси у;

c. перенос на b единиц вдоль оси z;

d. вращение на угол –θ относительно оси y;

e. вращение на угол –φ относительно оси z.

1. На рис. 1 показано вращение относительно оси x.

Рис. 1

Составим выражение для матрицы A₁ вращения на угол (ψ+90°) относительно оси x:

Первые три строки и столбца матрицы A₁ представляют собой матрицу вращения – косинусы углов между осями глобальной (инерционной) и локальной (преобразованной) системы координат. Столбцы матрицы вращения соответствуют осям локальной системы координат x’, y’ и z’ соответственно, строки матрицы вращения – осям глобальной системы координат x, y и z соответственно. Поскольку масштабирование, перенос и перспективная проекция не производятся, элемент, стоящий на пересечении 4-й строки и 4-го столбца равен единице, а оставшиеся элементы 4-й строки и 4-го столбца равны нулю.

2. На рис. 2 показан перенос на a единиц вдоль оси у.

Составим выражение для матрицы A₂ данного преобразования:

Матрица вращения является единичной, поскольку вращение не происходит. Второй элемент четвертого столбца равен a, поскольку перенос происходит вдоль оси y.

Рис. 2

3. На рис. 3 показан перенос на b единиц вдоль оси z.

Составим выражение для матрицы A₃ данного преобразования:

Матрица вращения является единичной, поскольку вращение осей локальной системы координат относительно осей глобальной системы не происходит. Третий элемент четвертого столбца равен b, поскольку перенос Рис. 3 происходит вдоль оси z.

4. На рис. 4 показано вращение относительно оси y.

Составим выражение для матрицы A₄ вращения на угол –θ относительно оси y:

Рис. 4

5. На рис. 5 показано вращение относительно оси z.

Составим выражение для матрицы A₅ вращения на угол –φ относительно оси z:

Рис. 5

6. Получим выражение для матрицы сложного однородного преобразования, используя (2):

Некоторые вычисления, необходимые для решения обсуждаемой в этой работе задачи, например, умножение матриц, можно провести на компьютере, например, с использованием языка языка Python[1] [3] и библиотеки SymPy[2].

Для работы необходимо запустить программу IDLE[3].Когда Python установлен в Windows, его можно найти в меню Пуск (Start). Набор пунктов меню может немного отличаться в зависимости от версии, но пункт IDLE запускает среду разработки с графическим интерфейсом, а пункт Python запускает сеанс работы с интерактивной командной оболочкой (консолью). Кроме того, здесь можно увидеть пункты вызова стандартного справочного руководства - Python Manuals.

Чтобы использовать функции SymPy нужно импортировать соответствующую библиотеку, выполнив команду:

Определим символы l₁, l₂, q₁, q₂, чтобы использовать их при записи элементов матрицы J:

Введем матрицы A_i в компьютер:

Выведем произведение матриц A_i – матрицу сложного однородного преобразования:

Поиск по сайту: