Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)

В системе одновременных уравнений каждое уравнение не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому оценки неизвестных коэффициентов данных уравнений нельзя определить с помощью классического метода наименьших квадратов, т. к. нарушаются три основных условия применения этого метода:

а) между переменными системы уравнений существует одновременная зависимость, т. е. в первом уравнении системы y1 является функцией от y 2, а во втором уравнении уже y 2 является функцией от y 1;

б) наличие проблема мультиколлинеарности, т.е. во втором уравнении системы y 2 зависит от x1, а в других уравнениях обе переменные являются факторными;

в) случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.

Следовательно, если неизвестные коэффициенты системы одновременных уравнений оценивать с помощью классического метода наименьших квадратов, то в результате мы получим смещённые и несостоятельные оценки.

Косвенный метод наименьших квадратов используется для получения оценок неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещённости и состоятельности.

Косвенный метод наименьших квадратов применяется только в том случае, если структурная форма системы одновременных уравнений является точно идентифицированной.

Алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в три этапа:

1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, все параметры которой выражены через структурные коэффициенты;

2) приведённые коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов;

3) на основе оценок приведённых коэффициентов системы одновременных уравнений определяются оценки структурных коэффициентов через приведённые уравнения.

Рассмотрим применение косвенного метода наименьших квадратов на примере структурной формы модели спроса и предложения:

Было доказано, что структурная форма модели спроса и предложения является точно идентифицированной, поэтому для определения оценок неизвестных параметров данной модели можно применить косвенный метод наименьших квадратов.

1) запишем приведённую форму модели спроса и предложения:

2) определим оценки коэффициентов приведённой формы модели спроса и предложения с помощью обычного метода наименьших квадратов. Тогда система нормальных уравнений для определения коэффициентов первого уравнения приведённой формы модели будет иметь вид:

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов второго уравнения приведённой формы модели записывается аналогично. Решением данных систем нормальных уравнений будут численные оценки приведённых коэффициентов A1,A2,A3 и B1,B2,B3;

Для определения по оценкам приведённых коэффициентов получить оценки структурных коэффициентов первого уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную It и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели. Для определения оценок структурных коэффициентов второго уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную Pt –1 и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели.

.47Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Оценки неизвестных параметров сверхидентифицированного уравнения нельзя рассчитать традиционным и косвенным методом наименьших квадратов. В данном случае для определения неизвестных оценок используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуетсяв четыре этапа:

1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма;

2) оценки неизвестных коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов;

3) рассчитываются значения эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;

4) все структурные коэффициенты уравнений системы рассчитываются традиционным методом наименьших квадратов через предопределённые переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Как видно из описания данного алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы и для определения оценок структурных параметров уравнений системы), поэтому и получил название двухшагового.

Различают две разновидности моделей, чьи структурные формы содержат сверхидентифицированные уравнения:

1) в модель помимо сверхидентифицированного уравнения также входят точно идентифицированные уравнения;

2) все уравнения модели являются сверхидентифицированными.

Для моделей первого типа оценки структурных коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведённых уравнений.

Для моделей второго типа оценки структурных коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Если все уравнения системы точно идентифицированы, то оценки структурных коэффициентов, полученные косвенным методом наименьших квадратов и оценки, полученные двухшаговым методом наименьших квадратов будут одинаковыми.

Наиболее простым и распространенным методом обнаруже$

ния автокорреляции случайных остатков регрессионной модели

является графический метод, сутью которого является построе$

ние графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной

функций (АКФ И ЧАКФ).

АКФ — это функция оценки коэффициента автокорреляции

в зависимости от величины временного лага между исследуемы$

ми рядами. Графиком АКФ является коррелограмма. Коррело$

грамма отражает численно и графически АКФ или коэффициен$

ты корреляции (и их стандартные ошибки) для

последовательности лагов из определенного диапазона (напри$

мер, от 1 до 15). По оси откладываются значения t (тау) — вели$

чины сдвига между рядами остатков. Значение t совпадает с по$

рядком автокорреляционного коэффициента. На коррелограмме

отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каж$

дом лаге. ЧАКФ представляет собой углубленное понятие обыч$

ной АКФ. В ЧАКФ устраняется корреляционная зависимость

между наблюдениями внутри лагов. Частная автокорреляция на

данном лаге отличается от обычной автокорреляции на величину

удаленных автокорреляций с меньшими временными лагами.

ЧАКФ дает более точную картину автокорреляционных зависи$

мостей внутри временного ряда.

1. Критерий Дарбина%Уотсона

Критерий Дарбина—Уотсона является одним из методов об$

наружения автокорреляции остатков регрессионной модели.

Этот критерий применяется только для обнаружения автокорре$

ляции первого порядка между соседними рядами случайных

остатков.

Для модели множественной регрессии вида:

ошибка, порожденная автокорреляцией первого порядка, опре$

деляется как:

где ρ — коэффициент автокорреляции, |ρ| < 1;

, t t t

v e ρe -

= +

, t

Y X ß e = +

Если в линейной регрессионной модели случайные ошибки

подвержены явлениям гетероскедастичности или автокорреля$

ции, то оценки коэффициентов регрессионного уравнения, полу$

ченные с помощью традиционного метода наименьших квадра$

тов, не будут удовлетворять основным статистическим свойствам.

Характеристики состоятельности и несмещенности оценки

сохранятся, однако свойство эффективности в этом случае утра$

чивается, т. е. не выполняется теорема Гаусса$Маркова.

Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки коэф$

фициентов регрессионной модели с гетероскедастичными или

коррелированными случайными ошибками определяются с по$

мощью обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК).

Нормальная линейная регрессионная модель строится на основа2

нии следующих предпосылок о случайных ошибках:

1) дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии являет$

ся величиной, постоянной для всех наблюдений:

2) случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированы

между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух раз$

ных наблюдений равна нулю:

В случае гетероскедастичности остатков нарушается первое из

перечисленных свойств

где i ≠ j, а в случае автокорреляции остатков нарушается второе

свойство Cov(e i

) ≠ 0. Регрессионная модель, для ко$

торой не выполняются указанные свойства, называется обобщен$

ной линейной регрессионной моделью.

В матричном виде обобщенную линейную регрессию можно

записать как:

где X — неслучайная матрица факторных переменных;

e — случайная ошибка регрессионной модели с нулевым мате$

матическим ожиданием E(e) = 0 и дисперсией

;

— ковариационная матрица случайных ошибок обобщен$

ного регрессионного уравнения.

Для нормальной линейной регрессионной модели дисперсия

случайной ошибки определялась из условия постоянства диспер$

сий случайных ошибок:

где G

= const — дисперсия случайной ошибки уравнения регрес$

сии e;

In — единичная матрица размерности n × n.

В обобщенной регрессионной модели ковариационная матри$

ца случайных ошибок строится исходя из условия непостоянства

дисперсий регрессионных остатков

Теорема Айткена. В классе линейных несмещенных оценок не$

известных коэффициентов обобщенной регрессионной модели

оценка

будет иметь наименьшую ковариационную матрицу.

Формула для расчета матрицы ковариаций ОМНК$оценок ко2

эффициентов обобщенной регрессии:

Величину необходимо оценить для определения матри$

цы ковариаций ОМНК$оценок по формуле:

Значение не является дисперсией случайной ошибки

регрессионного уравнения.

В оценке качества обобщенной регрессионной линейной мо$

дели коэффициент детерминации использовать нельзя, так как

он не отвечает требованиям, предъявляемым к обычному множест$

венному коэффициенту детерминации.

Для проверки гипотез значимости коэффициентов обобщен$

ного нормального уравнения регрессии и регрессионной модели

применяются те же статистические критерии, что в случае нор$

мальной линейной регрессионной модели.

1. Доступный обобщенный метод

наименьших квадратов

Главное отличие доступного обобщенного метода наимень$

ших квадратов от обобщенного метода состоит в оценке ковариа$

ционной матрицы случайных ошибок обобщенной регрес$

сионной модели. В случае автокоррелированности остатков

регрессионной модели для определения оценок неизвестных ко$

эффициентов используется именно доступный обобщенный ме$

тод наименьших квадратов (ДОМНК или FGLS).

Оценки неизвестных коэффициентов обобщенной регрес$

сионной модели находятся с помощью FGLS по формуле:

где — оценка матрицы ковариаций случайных ошибок обоб$

щенной регрессии.

Оценивание матрицы ковариаций случайных ошибок в моде$

ли с автокоррелированными, но гомоскедастичными остатками

рассмотрим на примере модели парной регрессии:

0 1

35Объясняющая переменная называется цензурированной в том

случае, если она представляет собой момент наступления интере$

сующего нас события, а продолжительность исследования огра$

ничена во времени.

Концепция цензурирования переменных или наблюдений

впервые возникла в исследованиях, связанных с биологией и ме$

дициной. Однако на современном этапе развития науки метод

цензурирования применяется во многих областях, например в со$

циологии, демографии и др. В экономике с помощью цензуриро$

вания изучается время «выживания» новых предприятий или но$

вой продукции, поступившей на рынок.

Существует понятие правого и левого цензурирования, которое

определяется в зависимости от направления процесса цензуриро$

вания. Например, осуществляется проверка 100 однотипных

предприятий по определенным параметрам, которая заканчи$

вается через некоторое время. В данном случае применяется пра$

вое цензурирование, так как известно в какой момент процесс

был начат и в какой конкретно момент времени, расположенный

справа от точки начала проверки, он закончится. Левое цензури$

рование может применяться в биомедицинских исследованиях.

Цензурирование может быть однократное (наступающее

в один момент времени) и многократное (наступающее в различ$

ные моменты времени). Например, проверка 100 предприятий

может закончиться спустя фиксированный отрезок времени.

Если процесс проверки завершился в определенный момент вре$

мени, то использовалось однократное цензурирование, а иссле$

дуемые данные были цензурированы один раз. Многократное

цензурирование используется в биомедицинских исследованиях.

Существует цензурирование I и II типа. Цензурирование I ти$

па применяется в тех ситуациях, когда процесс тестирования за$

вершается в заранее известный момент времени. При проверке

100 предприятий процесс заканчивается через фиксированный

отрезок времени.

Поиск по сайту: