Уравнение плоскости

Задача 1

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно вектору (5;0-3)

Ответ: 5х-3z=0

Задача 2

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3;4;-5) параллельно векторам: (3;1;-1); (1;-2;1)

Ответ: x+4y+7z+16=0

Задача 3

Установить какие из следующих пар уравнений прямых параллельны плоскости:

1) 2x-3y+5z-7=0; 2x-3y+5z+3=0

2) 4x+2y-4z+5=0; 2x+y+2z-1=0

3) x-3z+2=0; 2x-z-7=0

Ответ: 1 – параллельны, 2 – не параллельны, 3 –не параллельны

Задача 4

Определить при каком значении L следующие пары уравнений будут задавать перпендикулярные плоскости:

1) 3х-5у+Lz-3=0; x+3y+2z+5=0

2) 5x+y-3z-3=0; 2x+Ly-3z+1=0

Ответ: 1) L=6; 2) L=-19

Задача 5

Составить уравнение плоскости, которая проходит через (3;-2;-7) параллельно плоскости

2x-3z+5=0.

Ответ: 2x-3z-27=0

Задача 6

Составить уравнение плоскости, которая проходит через (2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям:

Ответ: x+2z-4=0

Задача 7

Плоскость проходит, через (6;-10;1) и отсекает на оси абсцисс отрезок

а=-3, на оси опликат с=2. Составить для плоскости уравнение в отрезках.

Ответ: + + =1

Задача 8

Найти расстояние от Р(-1;1;-2) до плоскости, проходящей через 3 точки:

1) (1;-1;1)

2) (-2;1;3)

3) (4;-5;-2)

Ответ: 4.

Блок «Прямые в пространстве»

Задача 1

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2;0;-3) параллельно:

1) Вектору a=

2) Прямой -= =

3) Оси Ox

4) Оси Oy

5) Оси Oz

Ответ:

· 1) -= =

· -= =

· -= =

· -= =

· -= =

Задача 2

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через данные точки:

1) (3;-1;2), (2;1;1)

2) (1;1;-2), (3;-1;0)

3) (0;0;1), (0;1;-2)

Ответ:

· x=-t+3, y=-2t-1, z=t+2

· x=t+3, y=-2t-1, z=5t-3

· x=0, y=t, z=-3t+1

Задача 3

Через точки (-6;6;-5) и (12;-6;1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Ответ: (9;-4;0), (3;0;-2), (0;2;-3)

Задача 4

Найти острый угол между прямыми -= = , -= =

Ответ:

Задача 5

Найти проекцию точки P (2;-1;3) на прямую x=3t, y=5t-7, z=2t+2

Ответ: (3;-2;4)

Задача 6

При каких значениях L и C прямая = = перпендикулярна к плоскости 3x-2y+Cz+1=0

Ответ: L=-6, C=

Задача 7

Найти точку Q, симметричную точке P (4;1;6) относительно прямой x-y-4z+12=0, 2x+y-2z+3=0

Ответ: Q (2;-3;2)

Задача 8

Найти точку Q, симметричную точке P (2;-5;7) относительно прямой, проходящей через точки (5;4;6) и (-2;-17;-8)

Ответ: Q (4;1;-3)

Задача 9

Найти проекцию точки P (5;2;-1) на плоскость 2x-y+3z+23=0

Ответ: (1;4;-7)

Задача 10

Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1) -= = ; -= =

2) x=2t-4, y=-t+4, z=-2t-1

x=4t-5, y=-3t+5, z=-5t-1

3) -= = ;

X=6t+9, y=-2t, z=-t+2

Ответ:

1) 13

2) 3

3) 7

Задача 10

Cоставить канонические и параметрические уравнения прямой

Ответ:

x/2=(y+8)/7=(z+4)/-4=t

x=2t

y=7t-8

z=-4t-4

Блок «Эллипс»

Задача 1

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того что:

1. Его полуоси равны 5 и 2;

2. Его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8;

3. Его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с=10;

4. Расстояние между его фокусами 2с=6 и эксцентриситет =3/5;

5. Его большая ось равна 20, а эксцентриситет =3/5;

6. Его малая ось равна 10, а эксцентриситет =12/13;

7. Расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с=4;

8. Его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

9. Его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10. Расстояние между его директрисами равно 32 и =1/2

Ответ:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. или

10.

Задача 2

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

· Его полуоси равны соответственно 7 и 2;

· Его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8;

· Расстояние между его фокусам 2с=24 и эксцентриситет =12/13;

· Его малая ось равна 16, а эксцентриситет =3/5;

· Расстояние между его фокусами 2с=6 и расстояние между директориями равно 50/3;

· Расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет .

Ответ:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Задача 3

Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М₁( и М₂( эллипса.

Ответ:

Задача 4

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

· 5x²+9y²-30x+18y+9=0;

· 16x²+25y²+32x-100y-284=0;

· 4x²+3y²-8x+12y-32=0

Ответ:

· C(3;-1); уравнение директрис 2x-15=0, 2x+3=0;

· C(-1;2); уравнение директрис 3x-22=0, 3x+28=0;

· C(1;-2); уравнение директрис y-6=0, y+10=0

Блок «Гипербола»

Задача 1

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

· Её оси 2a=10 и 2b=8;

· Расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;

· Расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет = ;

· Ось 2a=16 и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20;

· Расстояние между директрисами равно и расстояние между фокусами 2c=26;

· Расстояние между директрисами равно и ось 2b=6;

· Расстояние между директрисами равно и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между директрисами

равно .

Ответ:

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Задача 2

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

· Её полуоси a=6, b=18 (буквой “a” мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

· Расстояние между фокусами 2c=10 и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48.

· Расстояние между директрисами равно и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между директрисами

равно .

Ответ:

·

·

·

·

Задача 3

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты её центра C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

1) 16 -9 -64x-54y-161=0

2) 9 -16 +90x+32y-367=0

3) 16 -9 -64x-18y+199=0

Ответ:

1)C(2;-3), a=3, b=4, 5/3, уравнения директрис: 5х-1=0, 5х-19=0, уравнения асимптот: 4x-3y-17=0, 4x+3y+1=0;

2)C(-5;1), a=8, b=6, =1,25, уравнения директрис: x=-11,4 и x=1,4, уравнения асимптот: 3x+4y+11=0 и 3x-4y+19=0

3) C(2;-1), a=3, b=4, =1,25, уравнения директрис: y= -4,2, y=2,2, уравнения асимптот: 4x+3y-5=0, 4x-3y-11=0

Поиск по сайту: