Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через уклонения от весового среднего

Оценка точности результатов неравноточных измерений.

Основными показателями, служащими для оценки точности неравноточных измерений, являются средние квадратические погрешности единицы веса и весового среднего.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через истинные погрешности.

Пусть имеем ряд неравноточных измерений , полученных с истинными погрешностями и весами .

Согласно выражению , длякаждого результата ряда измерений можно написать:

Сложив левые и правые части равенства и разделив эти суммы на число измерений n, получим:

или

При достаточно большом числе измерений можно считать, что , тогда

(11.1) – Это выражение представляет собой формулу Гаусса для неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через уклонения от весового среднего.

По аналогии с равноточными измерениями уклонения отдельных результатов измерений от весового среднего (общей арифметической середины) будут являться вероятнейшими погрешностями:

Умножив обе части каждого из этих равенств на соответствующий вес , имеем:

Сложив эти равенства, получим:

.

Поскольку , то

. (11.2)

При имеем , т.е. формулу для равноточных измерений.

Для каждого результата ряда неравноточных измерений можно записать значения истинных погрешностей и их уклонений в виде:

и ;

Где - истинное значение измеренной величины; - среднее весовое.

Вычитая из первого уравнения второе, будем иметь:

;

где - истинная погрешность весового среднего . Отсюда

Составим такие равенства для всех результатов неравноточных измерений:

с весом ;

с весом ;

……………………….

с весом .

Возведя обе части каждого равенства в квадрат, умножим каждый результат на соответствующий вес и, сложив левые и правые части равенств, получим:

,

где . Тогда

Разделив обе части равенства на число измерений n, получим:

.

Согласно выражению (11.1) , тогда

.

Заменим истинную погрешность среднего весового s на среднюю квадратическую погрешность среднего весового , которые можно найти из выражения:

.

Тогда или

Решая последнее уравнение относительно , получим формулу Бесселя для неравноточных измерений: