Вивчення процесів витікання рідини через отвори

На практиці часто приходиться визначати: кількість рідини, витікаючої із резервуара або час за який він спорожніє; напір, необхідний для забезпечення заданної продуктивності; діаметр труби, по якій тече рідина і т. п.

Ці завдання вирішуються за допомогою примінення рівняння Бернуллі та принципу не розірваності потоку.

Рис.1 Витікання рідини із ємкості:

а – при постійному її рівні;

в – при змінному.

Якщо в резервуарі підтримується постійний рівень рідини, то завдання як правило зводиться до визначення її витрат, а при змінному (падаючому) рівні – до визначення часу спорожнення резервуару.

Розглянемо першу задачу, тобто визначимо витрати рідини при її витіканні через круглий отвір в дні резервуара, в якому підтримується постійний рівень H рідини

(рис.1,а). Приймем переріз 2-2 в місці виходу рідини із отвору поза резервуара за площу порівняння і напишемо рівняння Бернуллі для ідеальної рідини відносно перерізу 1-1 по верхньому рівню і перерізу 2-2:

𝑧1+ + = 𝑧2 + + + (1)

В перерізі 1-1 геометричний напір 𝑧1=Н, а в перерізі 2-2 напір 𝑧2=0.

Так як резервуар відкритий = , а протікання рідини через отвір проходить в простір з тим же атмосферним тиском, то = .

Швидкістю в поперечному перерізі резервуару, порівняно з швидкістю в отворі, можна знехтувати, тобто прийняти ω1=0 (при умові, якщо площина поперечного перерізу резервуару в декілька разів більща площі перерізу отвору).

Зробивши відповідні підстановки і скорочення в рівняння (1), отримаєм

Н= /

Звідси ω2 = (2)

Це відома із курсу фізики формула Торічеллі. Вона зівпадає з формулою для швидкості вільного падіння тіл в пустоті.

Витрати рідини 𝑄= ω2 Sот, де Sот – площа перерізу отвору. Швидкість і витрати реальної рідини будуть меншими, що обумовлено стисненям струменю на виході із отвору і втратою напору в місцевому опорі – на вході в отвір

( = ).

Відношення площі перерізу струменю в місці найбільшого стисненя до площі поперечного перерізу отвору S називається коефіцієнтом стиснення струменю, визначається дослідним шляхом.

З врахуванням вище сказаного для реальної рідини рівняння Бернуллі прийме вигляд

𝑧1+ + = 𝑧2 + + +

або Н= (1 + )

Швидкість витікання реальної рідини

ω2 = = 𝜑 (3)

Величина 1 називається коефіцієнтом швидкості і позначається через 𝜑.

Він представляє собою відношення дійсної швидкості витікання до теоретичної, значення його визначаються по дослідним даним.

Знаючи швидкість витікання, можна визначити витрати рідини

𝑄 = Sст ω2=ε Sст 𝜑 (4)

Перемноживши коефіцієнт стисненя струменю ε на коефіцієнт швидкості 𝜑, отримаєм коефіцієнт витрат α, α= ε 𝜑.

Значення його визначаються по довідникам в залежності від властивостей і швидкості рідини, а також від форми отвору, його розмірів і віддалення від стінок резервуару. Для круглого отвору α 0,62.

Таким чином, рівняння об’ємних витрат через отвір прийме слідуючий вигляд

𝑄 = Sст ω2= α Sст (5)

Якщо резервуар, з якого витікає рідина, закритий і тиск над рідиною відрізняється від зовнішнього то швидкість витікання визначається по формулі

ω = 𝜑 ) (6)

Друга задача – визначення часу спорожнення резервуару,- вирішується наступним чином. За нескінченно малий проміжок часу τ із резервуара (рис.1,б) через отвір в дні витікає об’єм рідини

𝑉= 𝑄 τ= α Sст τ (7)

За цей же проміжок часу τ рівень рідини в резервуарі понизиться на нескінченно малу величину , а зменшення рідини в ньому при постійній площі поперечного перерізу резервуару S складе:

= ̶ S (8)

Знак мінус вказує на зменшення висоти рідини в резервуарі. Прирівнюючи праві частини рівнянь (7-8), отримаєм

α Sст τ = ̶ S

τ = ̶ S α Sст

Проінтегруєм цей вираз, рахуючи, що напір понижається від Н1 до Н2, а коефіцієнт витрат постійний:

τ= = ( ̶ ). (9)

Час повного спорожнення резервуара отримаєм, прийнявши Н2=0;

τ= / (10)

У випадку спорожненя резервуару, площа поперечного перерізу якого змінюється по висоті (горизонтальна цистерна, конічний резервуар), при визначенні часу спорожнення слід врахувати залежність площі перерізу від від рівня Н рідини, тобто вид функції = 𝜑(Н).

В виробництві деревинних плит і пластиків в вагонах-цистернах поставляють формалін, сірчану кислоту, смоли та інші рідини. Час спорожнення цистерни, при мові постійного тиску над поверхнею рідини в цистерні, при умові постійного тиску над поверхнею рідини в цистерні та збірнику, визначається по формулі

τ = 𝜑 , або τ = (11)

де τ - час спорожнення, с; - довжина цистерни, м; - радіус цистерни, м; - площа зливного отвору, м²; - коефіцієнт швидкості; - коефіцієнт витрат зливної труби; - прискорення вільного падіння, м/с²; - об’єм цистерни, м³.

Коефіцієнти та визначаються по довіднику в залежності від умов зливу і в’язкості рідини. Коефіцієнт швидкості враховується у випадку витікання рідини по досить довгій трубі, коли різниця рівней 𝘩 низу цистерни і нижнього

кінця зливної труби не рівні нулю, а також неоднакові тиск в цистерні . Значення коефіцієнта в залежності від співвідношення цих параметрів приведені нижче:

Таблиця 1.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 0,25 0,37 0,46 0,54 0,62 0,73 0,8 0,87 1,0

Поиск по сайту: