LDPC коды: структура

LDPC код является линейным блочным кодом и, поэтому имеет проверочную матрицу. Существенным отличием LDPC кодов от обычных линейных кодов является матрица проверки четности, в которой число ненулевых элементов на много меньше, чем общее число записей, которые могут быть найдены для неё.

Графическое представление LDPC кодов настолько популярно, что большинство людей думает и говорит о LDPC кодах с точки зрения структуры их фактор графов. Как упоминалось ранее, графическое представление линейных кодов началось с графов Таннера [4]. Здесь мы сосредоточимся на фактор графах, в связи с их более общим характером происхождения.

Фактор граф всегда является двудольным графом, вершины которого разбиты на переменные узлы и функции (проверки) узлов [29,35]. Мы считаем удобным взять двудольный граф и показать, как двоичный линейный код может быть из него сформирован.

Рассмотрим двудольный граф Q с n левыми узлами (назовем их переменными узлами) и r правыми узлами (назовем их проверочными узлами) и E рёбрами. На Рис. 2.2 показан пример такого двудольного графа. Обратите внимание, что на этом рисунке переменные узлы показаны кружками, а проверочные узлы - квадратами, так же, как и для всех фактор графов.

Переменный узел является бинарной переменной из алфавита {0,1}, а проверочный узел является ограничительным для соседних переменных узлов, т.е.

где есть множество всех «соседей» и - суммирование по модулю два.

В результате получается двоичный линейный код длины и размерности с равенством тогда и только тогда, когда все проверочные ограничения линейно независимы. Проверочной матрицей этого кода является матрица смежности графа т. е. , входящие в равно 1, тогда и только тогда, когда ( -ый узел проверки) подключен к ( -ому переменному узлу).

LDPC коды могут быть расширены до , рассматривая множество ненулевых весов для рёбер . Проверочная матрица в этом случае формируется с помощью множества весов. Другими словами . В оставшейся части данной работы мы предполагаем, что коды – двоичные, если не указано иное.

Это легко объясняется, если предположить, что любой двудольный граф приводит к линейному коду. В случае LDPC кодов число E ребер в фактор графе, сравнимое с количеством ребер в построенном случайно двудольном графе, то есть двудольном графе, который с вероятностью имеет грань между левой вершиной и правой вершиной очень мало. Как мы увидим позже, для LDPC кода с фиксированной скоростью , число ребер порядка , а в случайно построенном двудольном графе ребер. Таким образом, с ростом , величина уменьшается, что приводит к «редкому» коду.

LDPC коды, в зависимости от их структуры, могут быть классифицированы, как равномерные или неравномерные. Равномерные коды имеют переменные узлы с фиксированными степенями и проверочные узлы с фиксированными степенями. Обозначая степень переменных узлов, как и степень проверочных узлов, как получим:

Таким образом, скорость кода R может быть вычислена, как

Если строки линейно независимы, то . В ряде работ величина называется проектируемой скоростью [12], но обычно возможная линейная зависимость между строками игнорируется и проектируемая скорость считается равной действительной.

Теперь рассмотрим ансамбль равномерных LDPC кодов с переменной степенью проверочной степенью и длиной . Если достаточно велико, обычное поведение этого ансамбля почти во всех случаях концентрируется вокруг ожидаемого поведения [12]. Следовательно, равномерные LDPC коды относятся к своим переменным и проверочным степеням и их длинам. Когда производительность и характеристики бесконечно долгие (или достаточно долгие) на равномерные LDPC коды следует обратить внимание, они будут представлены только степенью их переменного и проверочного узла. Например, (3, 6) LDPC код ссылается на код с переменным узлом степени 3 и проверочным узлом степени 6. Проектируемая скорость этого кода из (2.3) 1/2.

Хотя показатели равномерных LDPC кодов близки к пропускной способности, они показывают больший интервал от пропускной способности, чем турбо коды. Основное преимущество равномерных LDPC коды над турбо кодами заключается в их лучшей, так называемой, "ошибке нижнего уровня". Из Рис. 1.2 следует, что, по сравнению с низким SNR, для умеренных и высоких SNR, BER кривая турбо кодов имеет меньший наклон. Это явление называется ошибкой пола. Рис. 3 в [36] показывает качественное поведение BER против для турбо кодов и классифицирует различные регионы кривой BER. Явление ошибки пола является фундаментальным свойством из-за низкой свободного расстояния турбо-коды [3]. Таким образом, турбо кодов будет испытывать ошибки пола даже при оптимальном декодировании. LDPC коды однако, как заметил в [9] и его можно увидеть на рис. 1,2 лучше ошибка пола. Кроме того, в работе [37], что LDPC кодов может достичь предела Шеннона при оптимальном декодировании.

LDPC коды стали более привлекательными, когда Luby соавт. показали, что разрыв в мощности могут быть сокращены с помощью нерегулярно коды LDPC [17].LDPC код называется нерегулярной, если, по его коэффициент графика, не все переменные (и / или проверить) узлы имеют равные степени. Тщательно проектирования неравномерность графика, коды, которые выполняют очень близко к мощности можно найти [13,17,21,28].
Ансамбль нерегулярные коды LDPC определяется его переменным распределением степени края Л = {Л2, Аз,...} и его проверка края степень распределения V - {р2, Рз-• • •}, где обозначает долю ребра на переменную узлов степени г и р обозначает долю ребра на проверку узлов степени у. Другой способ описания той же ансамбль кодов, представляя последовательности и V с их порождающих многочленов Л (ж) = Yh и р (х) - YliPix% 1 - Оба обозначения, введенные в [17] и были использованы влитературы впоследствии. Обратите внимание, что график характеризуется с точки зрения доли краям каждой ступени, а не в узлах каждой степени. Позже мы увидим, что это представление является более удобным. В оставшейся части этого тезиса, по переменным (чек) степень распределения,

мы имеем в виду переменную (чек) края степень распространения.
Как и регулярные коды, показано в [12], что среднее поведение почти во всех случаях ансамбля неправильный код сосредоточен вокруг ожидаемого поведения, когда код достаточно велик. Кроме того, ожидаемое поведение сходится к циклу без дела [12].
Учитывая степень распределения LDPC код и число ребер е, легко видеть, что число переменных узлов п

_{n = E}J2~ = E f X(x)dx, (2.4)

. г J о

и число контрольных узлов г

r = E= E fp(x)dx. (2.5)

< ¹

Поэтому дизайн скорости код будет

или, что эквивалентно

fn p(x)dx

Д = 1 — °. (2.7)

/о 4x)dx

Найти хорошего асимптотически долго семьи нерегулярно коды эквивалентно нахождению хорошее распределение степени. Очевидно, что для различных приложений, различные атрибуты являются предпочтительными. Задача нахождения степени распределения в результате чего семейный кодекс с некоторыми нужными свойствами не является тривиальной задачей и будет одним из направлений этого тезиса. Мы пытаемся сформулировать исполнении семейного кодекса с точки зрения степени его распределения в легкой форме, чтобы обеспечить максимальную гибкость в стадии проектирования, и в то же время мы избегаем слишком упрощение, чтобы наши предсказал результаты, близкие к реальным результатам

Формулы

Поиск по сайту: