Любое равновесие в конкурентной среде в модели Грэхема единственно, за исключением случая, когда вектор цен умножается на положительную константу

6. Существование равновесия

6.1.Свойства модели Грэхема следующие:

a) множество Y возможных выпусков готовой продукции замкнуто, ограничено, и выпуклое.

b)для готовой продукции любая доля считается экстремумом выпуска и неотрицательной нормалью.

с)любой экстремум выпуска и положительный нормаль определяют равновесие в условиях конкуренции, если условия спроса соблюдены (4.3)

d)спрос на готовую продукцию гомогенен,неотрицателен, и неограничен для положительных цен на готовую продукцию

e) вся прибыль тратится

f)если прибыль ограничена и цены готовой продукции близки к нулю, спрос на эту продукцию в итоге превысит возможный объем производства этой продукции.

Подразумевается, что весь объем потребления, когда продукция в наличии, будет ограничен бюджетной линией. Докажем, что существует бюджетная линия, на которой существует точка, которая касается поверхности производственного процесса (production transformation), при условии, что функции спроса являются непрерывными функциями цен на готовую продукцию.

6.2. при p_i=>0, где p_i элементы p. Каждый вектор из симплекса S является нормалью для точки y в Y, поскольку непрерывная функция pz должа достигать максимума в ограничениях Y.y должен быть экстремумом выпуска. Если это не так, то существует некое положительное а. Это будет означать, что apy>py и p не может быть нормалью для y. Ссылаясь на 3.2. y эффективен.

6.3. Доказательство существования равновесия следует из выпуклого множества.

r(p)=max p z, где z принадлежит Y и является непрерывной. Пусть существует произвольный вектор w, не входящий в Y w=>0 и h(w) является пересечением луча из начала, содержащего w с множеством экстремумов выпуска Y, тогда h(w)- непрерывная функция. Ссылаясь на (b), этот луч содержит экстремум выпуска, что можно выразить следующим образом:

6.4. Докажем, что множество нормалей Y в точке y выпуклое и замкнутое. Пусть p¹ и p² нормали y. Тогда p¹y=max p¹z и p²y=max p²z. Пусть p=ap¹+(1-a)p², где 0<=а<=1. Тогда py = max pz и p является нормалью y. Множество нормалей замкнуто из-за непрерывности функции r(p) и умножения двух векторов. r(p) = py, что говорит о p как нормали y.

6.5. Спрос на w_i i ого товара задан 2.8 и 2.9 как функцией p и y. Однако, можно игнорировать значения y, поскольку они не содержатся в экстремумах выпуска, поскольку их нет в Y и у них нет неотрицательных нормалей. Поэтому зарплата не может наблюдаться в равновесии в условиях конкуренции. Функции спроса с таким ограничением можно записать следующим образом:

Модифицируем функцию спроса, чтобы она стала непрерывной в нуле. Следует отметить, что равновесие нельзя достичь, если f_i(p) превышает ε, где ε- больший объем продукции, чем возможный. Следующая функция исключает такой случай.

Функция (6.3) определена на S и является непрерывной.

6.6.

Пусть f*(p)=w - непрерывная функция. Если y находится в множестве экстремумах выпуска. Пусть g(y)= K, где К является пересечением множества нормалей y с S.Это пересечение не пустое, поскольку каждый экстремум согласно (b) является нормалью p=>0 и p/ _I –элемент S. K выпукло, поскольку оно является пересечением выпуклых множеств.

LEMMA:Функция g является полунепрерывной функцией.?

Следующий шаг – использование теоремы о неподвижной точки Какутани:

Если F находится на симплексе S в множестве {K} выпуклых множеств S, а также F является полунепрерывной, тогда существует x принадлежащий S так x e F(x)

Пусть F= ghf*. Поскольку f* и h непрерывны, и g – полунепрерывная функция, тогда функция F тоже полунепрерывная. Однако F принадлежит S в множестве {K} выпуклых подмножеств S. Тогда теорема Какутани применима и существует p, которое находится в множестве K, расположенном на графике.

Предположим, что точка p функции F и y= h(f(p)) определяет равновесие в условиях конкуренции согласно (4.3). y возможно благодаря h. P является нормалью Y в y благодаря g. Тогда py= max pz и py=r(p) согласно 6.2. С другой стороны, pw = *(p) и f*(p)<= f(p) согласно 6.3 за исключением, когда p=0. Тогда pw<= = согласно 6.2. Но ссылаясь на 6.1. h,y=h(w)=aw, где a<=1. Тогда мы имеем py=paw =>pw, где a<=1. Неравенства невозможно решить, за исключением а=1. Это означает, что y =w, и тогда w принадлежит Y. Искомые функции (2.8) и (2.9) согласуются с w=y. Поскольку все условия (4.3) соблюдены, то для (p,y) можно найти равновесие в условиях конкуренции.

Теорема 2 : В любой модели Грэхема существует равновесие в условиях совершенной конкуренции.

[1] P –вектор цен, ∆y-вектор приращения требуемых объемов y≠0 подразумевает, что все элементы y не могут быть равны нулю одновременно. P и y зависят от функций спроса

[2] i столбец в этой матрице подразумевает деятельность, при которой 1 единица труда создает а^j ед. готовой продукции i

[3] (j-1)k+ i столбец матрицы АxA^j. Этот столбец представляет в рамках мировых технологий деятельность, описанную в прошлой сноске, которая находится в j стране и i готовой продукции.

[4] Произведение векторов затрат и выпуска при постоянной технологии (cone in the space)? Всех факторов производства и готовой продукции

[5] Подразумевается, что возможные комбинации факторов производства используются полностью и, готовая продукция неизменна.

[6] Исключая промежуточную продукцию, мы приходим к тому, что издержки постоянны для каждой страны

[7] При переводе векторов x в X возможен перевод X в векторы x

[8] Таблица представляет модель с двумя типами готовой продукции и тремя странами. Оси положительные. Двигаясь против часовой стрелки страна меняется от y₂ до y₁

[9] W=>0 допустимо значения равные нулю всех w.

[10] Данное условие действует на отрезке abcd

[11] При заданной технологии и ценах p

[12] Эти условия применимы при любом числе производственных процессов и в любой рыночной экономике. Следует отметить, что (4.1) равнозначно условиям для производственных процессов, использующих промежуточную продукции.

Поиск по сайту: