РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. СОДЕРЖАНИЕ С. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 «Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных

СОДЕРЖАНИЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

«Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных моделей»

Данные представлены таблицей значений независимой переменной X и зависимой переменной Y.

Задание

1. Вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи.

2. На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

3. Составить уравнение парной регрессии Y = b ₀ + b ₁ X.

4. Нанести данные на чертеж и изобразить прямую регрессии.

5. С помощью коэффициента детерминации R ² оценить качество построенной модели.

6. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью дисперсионного анализа.

7. При уровне значимости a = 0,05 построить доверительные интервалы для оценки параметров регрессии β ₁, β ₀ и сделать вывод об их значимости.

8. При уровне значимости a = 0,05 получить доверительные интервалы для оценки среднего и индивидуального значений зависимой переменной Y, если значение объясняющей переменной X принять равным x^*.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА

Пусть имеются следующие данные:

1. Вычисление коэффициента корреляции r_xy проведем по формуле:

,

а расчёт параметров b ₁ и b ₀ выборочного уравнения парной регрессии соответственно по формулам:

, ,

где , , а n – объём выборки.

Для расчётов удобно использовать следующую таблицу:

Таблица 1 – Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения парной регрессии

№
						60,000	4,000	16,000
						34,678	-7,322	53,612
						27,772	9,772	95,492
						76,114	-7,886	62,189
						76,114	20,114	404,573
						87,624	-19,376	375,429
						87,624	-2,376	5,645
						78,416	10,416	108,493
						41,584	10,584	112,021
						30,074	-17,926	321,341
						600,00	0,000	1554,796

Замечание. Столбцы 7 – 9 таблицы 1 заполняются после получения выборочного уравнения прямой регрессии и будут необходимы для выполнения последующих пунктов задания.

Используя результаты вычислений, представленные в таблице 1, найдём значение выборочного коэффициента корреляции:

.

Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными и имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т. е. с увеличением одной из переменных значения другой переменной также увеличиваются.

2. Для оценки значимости коэффициента корреляции следует использовать статистику

,

которая в условиях нулевой гипотезы H₀: ρ_xy = 0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным n – 2. В нашем случае получаем следующее расчётное значение статистики:

.

Используя таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне надёжности γ = 0,95 (γ = 1 – α) и числе степеней свободы, равном 8, определим критическое значение статистики:

t _крит= t _(0,95;8) = 2,31.

Поскольку | t _расч| > t _крит, то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.

3. Для того чтобы составить выборочное уравнение прямой регрессии, необходимо вычислить коэффициенты b ₁ и b ₀. Используя результаты расчётов, представленных в таблице 1, находим:

,

b ₀ = 60 – 2,302*83 = –131,066.

Таким образом, получаем следующее регрессионное уравнение:

Y = -131,066 + 2,302* X.

4. Прямая регрессии представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – График линейной регрессионной модели

5. Качество регрессионной модели может быть оценено с помощью коэффициента детерминации R ², который определяется формулой:

,

где ŷ_i = b ₀ + b ₁ x_i, – расчётные (прогнозные) значения величины , полученные подстановкой соответствующих значений X в уравнение регрессии. Для вычисления этих значений используются столбцы 7 – 9 таблицы 1. В нашем случае имеем:

.

Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (дисперсии) зависимой переменной Y воспроизводит (объясняет) построенное уравнение регрессии. В нашем случае построенное уравнение регрессии на 77,3% объясняет зависимость переменной от переменной X.

Замечание. Для проверки правильности расчётов можно воспользоваться соотношением .

6. Проверка значимости уравнения регрессии заключается в установлении его существенности. Другими словами эта проверка даёт ответ на вопрос о том, насколько можно быть уверенным, что рассматриваемая регрессионная зависимость действительно наличествует в генеральной совокупности, а не является результатом случайного отбора наблюдений.

Проверка значимости регрессионной зависимости производится методом однофакторного дисперсионного анализа, где в качестве фактора выступает построенное уравнение регрессии. Результаты дисперсионного анализа принято представлять в виде стандартной таблицы 2.

Таблица 2 – Результаты дисперсионного анализа

Компоненты вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты	F -отношение
Регрессия
Остаточная		n – 2
Общая		n – 1

В нашем случае при расчёте сумм квадратов следует принять во внимание следующие равенства:

;

RSS = TSS – ESS.

С учётом результатов, представленных в таблице 1, получим следующие значения:

TSS = 42854 – 10*60² = 6854; ESS = 1554,796;
RSS = 6854 – 1554,796 = 5299,204.

Тогда таблица дисперсионного анализа примет вид таблицы 3.

Таблица 3 – Результаты дисперсионного анализа

Компоненты вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты	F -отношение
Регрессия	5299,204		5299,204
Остаточная	1554,796		194,350
Общая	6854,000

При отсутствии линейной зависимости между переменными X и Y статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v ₁ = 1; v ₂ = n – 2 = 8.

Принимая стандартный 5% уровень значимости, в таблице критических точек распределения Фишера находим F _крит = F (0,05;1;8) = 5,32.

Поскольку F _расч = 27,267 превышает F _крит = 5,32, то делаем вывод о значимости уравнения регрессии.

7. Исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам:

Используя результаты вычислений из предыдущих пунктов, получаем:

;

.

Отсюда:

;

.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии β ₁ и β ₀имеют соответственно вид:

[ b ₁ – t _крит* S (b ₁); b ₁ + t _крит* S (b ₁)]; [ b ₀ – t _крит* S (b ₀); b ₀ + t _крит* S (b ₀)].

Если окажется, что доверительный интервал включает 0, то соответствующий коэффициент регрессии объявляется незначимым.

При заданном уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы, равном n – 2, где n – заданный объем выборки (у нас n = 10) критическое значение статистики Стьюдента t _крит = 2,31.

Теперь строим доверительные интервалы для β ₁ и β ₀ соответственно:

[2,302 – 2,31*0,441; 2,302 + 2,31*0,441] = [1,28; 3,32];

[–131,066 – 2,31*36,88; –131,066 + 2,31*36,88] = [–216,26; –45,87].

Поскольку ни один из полученных интервалов не включает нулевое значение, делаем вывод о значимом отличии от нуля коэффициентов β ₁ и β ₀.

8. Интервал для прогноза среднего значения зависимой переменной при значении объясняющей переменной x^* (точнее, прогноза ) по линейному уравнению регрессии имеет вид:

,

где t_γ находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента для заданных значений g и числа степеней свободы v = n – 2 (в случае парной регрессии). Мы уже знаем, что при n = 10 и g = 0,95 (т.е. α = 0,05) t_γ = 2,31.

Вычисляем с учетом полученных ранее результатов:

.

Из выборочного уравнения прямой регрессии имеем:

.

Получаем окончательный вид искомого доверительного интервала:

или

[54,21; 75,00].

Для расчета доверительного интервала возможных индивидуальных значений наблюдений при значении объясняющей переменной x^* применяется формула:

,

где

.

Окончательно получаем:

=

= .

Поиск по сайту: