АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Геометрическое решение биматричных игр 2x2

Читайте также:
  1. VI. ЭТАП Определения лица (группы лиц) принимающих решение.
  2. А если и может, то Конституционный суд отменит это решение в пять минут.
  3. Альтернативное разрешение споров
  4. В заданиях 10-14 запишите ответ в отведенном для этого поле. Для заданий 11,12,13 запишите полное решение.
  5. В заданиях 10-14 запишите ответ в отведенном для этого поле. Для заданий 11,12,13 запишите полное решение.
  6. Влияние на решение о покупке
  7. Возможное решение
  8. Возможное решение
  9. Возможное решение проблемы ограниченности ресурсов и благ
  10. Геометрическое нивелирование
  11. Геометрическое хеширование

Рассмотрим биматричную игру размерности 2×2:

.

Очевидно, что смешанные стратегии игроков в случае игры 2×2 полностью описываются вероятностями p и q выбора игроками своих первых чистых стратегий. Вторые чистые стратегии выбираются, соответственно, с вероятностями 1 – p и 1 – q. Поэтому, поскольку и , любая ситуация в смешанных стратегиях в биматричной игре 2×2 может быть представлена как точка в единичном квадрате (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Графическое представление ситуации

Ситуациям в чистых стратегиях соответствуют вершины этого квадрата.

Перепишем функцию выигрыша первого игрока в виде

.

Ожидаемый выигрыш первого игрока повышается (в зависимости от p), если и уменьшается, если , поэтому лучшими ответами игрока 1 (среди всех стратегий, как чистых, так и смешанных), являются , если , и , если .

При , таком, что , ожидаемый выигрыш игрока 1 не зависит от его стратегий. В этом случае игроку 1 безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию . Это означает, что если , то смешанная стратегия является наилучшим ответом на смешанную стратегию при любом значении p от 0 до 1.

Аналогичные рассуждения можно провести и для второго игрока, основываясь на его функции выигрыша, записанной в виде:

.

Пример.

.

Запишем функцию выигрыша для первого игрока: .

Игрок 1 максимизирует свой выигрыш при , если , или . Если , или , то лучший ответ . Если , первому игроку безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию .

Рассмотрим теперь варианты оптимального по Нэшу поведения игрока 2. Его функцию выигрыша запишем в виде:

.

Игрок 2 максимизирует свой выигрыш при , если , или . Если , или , то лучший ответ . Если , второму игроку безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию .

Теперь найдём точки пересечения построенных графиков, образующие равновесные по Нэшу ситуации.

Рис. 8.4. Равновесные по Нэшу ситуации ( черным - 1-й игрок, синим - 2-й)

 

Таким образом, решение биматричной игры даёт три равновесных по Нэшу игровых ситуаций:



1) : , , .

2) : , , , .

3) : , , .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)