Критерий решения игры в чистых стратегиях

Критерий реш-я игры в ЧС - выигрыш одного из них равен проигрышу другого. Внешние факторы отсутствуют. Оба игрока обладают конечным числом действий и логикой, которая определят

их действия. Строки матрицы являются возможными действиями игрока А, столбцы матрицы - возможными действиями игрока В. Возможные действия игроков называются чистыми стратегиями.

Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.

8.Доказательство утверждения .

Теорема. Для элементов матрицы A имеют место неравенства , , ,и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях: .

Док-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai игрока А ()и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В () имеем: , cлед-но доказано.

так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i₀ и j=j₀ соответственно максиминной и минимаксной стратегией A_i0 и B_j0: . Тогда в силу получим требуемое неравенство

9.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока A.

Теорема: Ситуация (A_i*, B_j*) будет удовлетворительна для игрока А тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии B_j* игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситуация (A_i*, B_j*) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению пок-ля неэффек-ти (1) стратегии B_j* следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j_* получим , то есть доказано

10.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока B.

Теорема: Ситуация (A_i*, B_j*) будет удовлетворительна для игрока В тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективности стратегии A_i* игрока A: , то есть будет минимален в i-ой строке матрицы игры

Док-во: Если ситуация (A_i*, B_j*) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенства при i=i_* получим и рав-во доказано.

Если же это справедливо то по при i=i_* будем иметь то есть доказано неравенство

Поиск по сайту: