Понятие о конечных позиционных играх с совершенной информацией

Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

Различают позиционные игры с полной информацией и позиционные игры с неполной информацией. Игры с полной информацией образуют наиболее простой класс позиционных игр.

Не вполне строго, но практически можно считать, что игра является игрой с полной информацией, если:

· игроки воздействуют на игровую ситуацию дискретными действиями — ходами, порядок ходов определён правилами и не зависит от таких параметров, как скорость реакции игроков (то есть очередной ход делает тот, кто должен его сделать по правилам, а не тот, кто первым догадался или успел его сделать);

· в любой момент игры все игроки имеют полную информацию о состоянии игры, то есть о позиции и всех возможных ходах любого из игроков.

Любая игра называется конечной, если она содержит конечное множество игроков , множества чистых стратегий содержат конечное число элементов (стратегий). Дерево такой игры, записанное в позиционной форме, будет иметь конечное множество вершин.

Позиционные игры также можно разделить на игры с совершенной информацией и несовершенной информацией.

В игре с совершенной информацией каждый игрок всегда знает точно, в каком месте дерева игры он находится, нет одновременных ходов, и все игроки наблюдают ходы природы (если таковые имеются).

Определение 9.2. Игра в позиционной форме называется игрой с совершенной информацией, если каждое информационное множество состоит из единственной вершины (рис. 9.3). В противном случае игра называется игрой с несовершенной информацией.

Определение 9.3. Стратегией в позиционной игре называется полный возможный план действий, который говорит, что игрок будет делать в каждом его информационном множестве.

( антагонистическая игра с совершенной информацией )

1-й ход. Игрок A выбирает число x из множества двух чисел .

2-й ход. Игрок B выбирает число y из множества двух чисел , зная выбор числа x игроком A.

Функция выигрышей игрока A за счёт игрока B задаётся так:

, , , .

На рис. 9.4 показаны дерево игры и информационные множества (оранжевый пунктир).

·

51.Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.

Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

В игре с совершенной информацией каждый игрок всегда знает точно, в каком месте дерева игры он находится, нет одновременных ходов, и все игроки наблюдают ходы природы (если таковые имеются).

Игра в позиционной форме называется игрой с совершенной информацией, если каждое информационное множество состоит из единственной вершины (см. рисунок)

Пример: ( антагонистическая игра с совершенной информацией )

1-й ход. Игрок A выбирает число x из множества двух чисел .

2-й ход. Игрок B выбирает число y из множества двух чисел , зная выбор числа x игроком A.

Функция выигрышей игрока A за счёт игрока B задаётся так:

, , , .

На рис. 9.4 показаны дерево игры и информационные множества (оранжевый пунктир).

Рис. 9.4. Дерево игры с совершенной информацией

52.Равновесие в позиционной игре. Принцип последовательной рационализации.

Теорема: В конечной (позиционной) игре с совершенной информацией существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях. Обсуждение данного факта мы начнём с примера, который покажет, что равновесие по Нэшу не всегда даёт разумное предсказание.

Пример. Фирма E (entrant) – новичок – рассматривает вопрос о том, входить ли на рынок, где в текущий момент есть одна единственная укоренившаяся фирма I (incumbent). Если E решается на вход, то I может ответить двумя способами: она может предоставить вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену, либо она может вступить в хищническую войну, которая приведёт к «драматическому» снижению цен. Дерево данной игры представлено на рис. 9.8.

Рис. 9.8. Дерево игры «Борьба за рынок»

Стратегии игрока E:

– не входить на рынок;

– входить на рынок.

Стратегии игрока I:

– объявить войну игроку E, если он вошёл в рынок;

– предоставить игроку E вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену.

Соответствующая игре нормальная форма имеет вид:

	I
E		(0, 2)	(0, 2)
	(−3, −1)	(2, 1)

В этой игре две равновесных по Нэшу ситуации (0, 2) и (2, 1) в чистых стратегиях. Но первая из этих ситуаций представляет собой предсказание, не являющееся разумным. Для того чтобы исключить ситуации типа мы рассмотрим принцип последовательной рационализации, который составляет основу метода обратной индукции – основного метода решения позиционных игр: оптимальная стратегия игры должна предписывать оптимальный ход в каждой вершине дерева. Т.е., если игрок находится в некоторой вершине дерева, его стратегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой точки, при данных стратегиях его оппонентов. Согласно данному принципу стратегия не является оптимальной, поскольку рассматриваемые в игре ответы I имеют смысл, только если фирма E вошла на рынок. Если игрок E вошёл на рынок, оптимальным поведением игрока I будет предоставить возможность E действовать на рынке.

Итак, после того как E выбрал стратегию , оптимальной стратегией для игрока I будет . Теперь мы можем определить оптимальное поведение фирмы E до её входа на рынок. Это можно сделать, рассмотрев редуцированную позиционную форму, где после входа на рынок игрока E принятие решения игроком I заменено на соответствующие выигрыши, которые возникают при оптимальном его поведении (рис. 9.9).

Рис. 9.9. Дерево редуцированной игры «Борьба за рынок»

В результате получаем простейшую задачу индивидуального решения, причём очевидным является решение игрока E войти на рынок.

Поиск по сайту: