Критерий Ходжа-Лемана

1) Предположим, что матрицей выигрышей игрока А является матрица А.

2) Известны вероятности q _i= p (П_j), j =1,…, n, состояний природы П_j, j =1,…, n, удовлетворяющие условию (1).

Таким образом, игроку А надлежит принимать решение в условиях риска.

3) Пусть l =2,

(11)

· показатель эффективности стратегии А_i по критерию Вальда,

(12)

· показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса.

Матрица В примет вид

В =

т.е. b_{i 1}= W_i, b_{i 2}= B_i, i =1,…, m.

4) Коэффициенты l₁, l₂ выбираются следующим образом:

Очевидно, что эти коэффициенты удовлетворяют условию (2).

5) По формуле (3), с учетом (11), (12), и (13), показатель эффективности стратегии А_i по критерию Ходжа-Лемана равен:

В правой части формулы (14) коэффициент l Î[0, 1] есть количественный показатель степени доверия игрока А данному распределению вероятностей q_i = p (П_j), j =1,…,n, состояний природы П_j, j =1,…, n, а коэффициент (1- l) характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состояний природы, тем меньше пессимизма и наоборот.

6) Цену игры по критерию Ходжа-Лемана находим по формуле (4):

7) Оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана является стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности:

G_k = G.

Отметим, что критерий Ходжа-Лемана является как-бы промежуточным критерием между критериями Байеса и Вальда. При l =1, из (14) имеем: G_i = B_i и потому критерий Ходжа-Лемана превращается в критерий Байеса. А при l =0, из (14): G_i = W_i и, следовательно, из критерия Ходжа-Лемана получаем критерий Вальда.

Пример.

Исходная матрица

Далее используя формулы –

матрица выигрышей

матрица потерь

каждый элемент в столбце на соответствующий коэффициент q. Получим следующую таблицу:

Vi1*q1	Vi2*q2	Vi3*q3	Vi4*q4
2,4	0,9	0,8	0,5	4,6
1,6	0,9	1,2	0,5	4,2

Принимая =0,6

Получим итоговые данные, для выйгрыша выберем макс. Элемент, для потерь – мин.

Получаем следующий ответ: S^*=S₁, V^*=4,02 - выигрыш

S^*=S₂, V^*=4,86 - потеря

Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.

Некооперативная или бескоалиционная игра (игра с переменной суммой), это система Г= (a_ij,b_ij)=(H^a(A_i,B_j), H^b(A_i,B_j)), где A_i и B_j принадлежат Sa и Sb соответственно, а H^a и H^b функции выигрыша. Sa и Sb – множество стратегий игрока А и В Sa= {A1,A2, …, Am}, Sb = {B1,B2, …, Bn}.

Игры моделируют ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но не обязательно являются противоположными. Хотя в некоторых играх этого класса предполагается возможность определённого информационного обмена или поступления дополнительной информации, вообще говоря, возможность кооперации игроков и образования их коалиций не рассматривается.

Матрица выигрышей двух игроков в бескоалиционной игре имеет следующий вид S= S^a x S^b:

Неантагонистические игры, как и антагонистические, могут быть как конечные, так и бесконечные. Эта характеристика игры зависит от количества чистых стратегий игроков (S₁, S₂, …,S_k где k- количество игроков, конечны)

Способы задания игр:

· стратегическая (нормальная, матричная)

· позиционная форма (форма дерева)

Поиск по сайту: