Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами для смешанных стратегий

Пусть числа удовлетворяют условиям (1.1).

Если игрок A придерживается смешанной стратегии P=(p₁,.., p_m), то при состоянии природы П_j вероятность выигрыша a_ij совпадает с вероятностью p_i выбора чистой стратегии A_i в этой смешанной стратегии. Таким образом, выигрыш игрока A при выборе им смешанной стратегии P=(p₁,.., p_m) и при состоянии природы П_j представляет собой дискретную случайную величину, принимающую значения a_ij соответственно с вероятностями p_i, i=1,.., m, Тогда средневзвешенные выигрыши игрока A при смешанной стратегии P=(p₁,.., p_m) и при каждом состоянии природы П_j, j=1,.., n, вычисляемые как математические ожидания соответствующих случайных величин, образуют следующую строку:

(2.1)

Переставляя выигрыши строки (2.1) внеубывающем порядке, получим строку

(2.2)

где — перестановка чисел 1,2,..., n, зависящая, очевидно, от смешанной стратегии P=(p₁,.., p_m). Вообще говоря, для некоторых номеров j { 1,..,n } возможно равенство , т.е.

Поставив каждой смешанной стратегии P=(p₁,.., p_m) в соответствие (единственное) число

(2.3)

мы получим числовую функцию векторного аргумента, определенную формулой (2.3) на множестве S_Aвсех смешанных стратегий игрока A. Числа в формуле (2.3) являются параметрами. Функцию (2.3) назовем функцией эффективности смешанных стратегий G(P), а значение этой функции на смешанной стратегии P — показателем эффективности смешанной стратегии P.

Рассмотрим сужение G | функции G на множество = {A₁, A₂,...A_m } чистых стратегий игрока A. Для чистой стратегии

имеем

и строка (2.1) превращается в k -юстроку матрицы A

,

строка (2.2) — в неубывающуюперестановку k -й строки матрицы A

,

а (2.3) — в показатель эффективности стратегии A_k по обобщенному критерию Гурвица с коэффициентами ([7], см. также [6, 10]). Таким образом, сужение G | функции G на множество

Пусть S — произвольное непустое подмножество множества S _A смешанных стратегий игрока A.

Функция G(P) ограничена сверху намножестве S _A. Действительно, если

— наибольший элемент матрицы A, то для любого P S_A, в силу (2.3), (2.2), (1.2) и (1.1), будем иметь

Аналогичным образом устанавливаетсяограниченность функции G(P) и снизу намножестве S _Aнаименьшим элементомматрицы A.

Поскольку функция G(P) ограниченасверху на всем множестве S _A, то онаограничена сверху и на любом его подмножестве S. Следовательно, на каждом подмножестве S существует конечный супремум

(2.4)

который мы назовем ценой игры в стратегиях множества S. В частности, если множество S есть множество чистых стратегий игрока A, то G _S представляет собой цену игры в чистых стратегиях. Если S совпадает с множеством S _A всех смешанных стратегий, то G _S есть цена игры в смешанных стратегиях.

Обобщенным критерием пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами назовем критерий, по которому оптимальной стратегией в множестве S считается стратегия P^О, обладающая следующими двумя свойствами:

1) стратегия P^О принадлежит множеству S: P^О S;

2) показатель эффективности G(P^О ) стратегии P^О совпадает с ценой игры G _S в стратегиях множества S:

G(P^О)=G_S (2.5)

Решением игры в стратегиях множества S назовемдвухэлементное множество {S⁰,G _S}, вкотором элемент S⁰ — множество всехоптимальных стратегий в множестве S, а G _S— цена игры в стратегиях множества S (см. (2.4)).

Частным решением игры в стратегияхмножества S назовем двухэлементное множество {P⁰,G _S},элементами которого являются какая-нибудьоптимальная стратегия P⁰ в множестве S ицена игры G_S в стратегиях множества S.

решение игры. Если множество S конечно, в частности если S есть множество чистых стратегий, то в нем всегда существует стратегия P⁰, удовлетворяющая равенству (2.5), т.е. стратегия, на которой функция эффективности G (P) достигает своего супремума G _Sна множестве S (см. (2.4)). Таким образом, в конечном множестве S всегда существует оптимальная стратегия.

Если же множество S бесконечно, тосуществование в нем оптимальной стратегиитребует доказательства.

35. Выбор коэффициентов

Коэффициенты определенного в предыдущем пункте обобщенного критерия Гурвица предназначены для приближенного количественного выражения представления лица, принимающего решение, — игрока A о различной степени опасности, благоприятности или нейтральности обстановки, в которой он должен выбрать оптимальную стратегию.

Показателем пессимизма игрока A при выборе им оптимальной стратегии назовемчисло

(3.1)

где [ n/2 ] — целая часть числа n/2.

Показателем оптимизма игроканазовем число

(3.2)

Очевидно, что

Коэффициенты , удовлетворяющие условиям (1.1), выбираются игроком A субъективно из следующих соображений. Если он оценивает ситуацию, в которой предстоит принять решение, как опасную, то его поведение при выборе стратегии должно быть осторожным, осмотрительным, не претендующим на большие выигрыши. В этой ситуации игрок A проявляет больше пессимизма, чем оптимизма. Поэтому коэффициенты естественно выбирать таким образом, чтобы показатель пессимизма был больше показателя оптимизма. Если же игрок A считает ситуацию благоприятной, то целесообразный выбор коэффициентов должен быть таким, чтобы показатель оптимизма был больше показателя пессимизма . В случае, если игрок A не может определенно отдать предпочтение ни опасности, ни благоприятности ситуации, т.е. считает ее нейтральной, то естественно выбрать коэффициенты так, чтобы показатели пессимизма и оптимизма были бы равными, т.е. = = 0,5.

Таким образом, показатели пессимизма и оптимизма можно трактовать как количественные меры соответственно пессимизма и оптимизма игрока A при выборе им оптимальной стратегии, а общее значение = = 0,5 указывает как бы на его нейтральность.

В [7] (см. также [6, 10]) был предложен некоторый формализованный прием выбора коэффициентов , состоящий в следующем.

Как уже отмечалось в пункте 2, если P есть чистая стратегия, то строка (2.1) представляет собой строку матрицы A выигрышей игрока A при этой чистой стратегии, а строка (2.2) есть неубывающая перестановка этой строки матрицы A. Таким образом, выигрыши каждой строки матрицы A переставлены в неубывающем порядке. Обозначим элементы полученной матрицы через b _ij, а саму матрицу — через B:

Пусть

, (3.3)

— сумма выигрышей, стоящих в j -мстолбце матрицы B;

, (3.4)

— арифметическое среднее выигрышей b _ij, стоящих в j-м столбце матрицы B;

(3.5)

— сумма всех выигрышей матрицы B,или, что то же, сумма всех выигрышей матрицы A.

Поскольку каждая строка матрицы B является неубывающей последовательностью, то(см. (3.3))

и следовательно, см. (3.4))

(3.6)

В случае, когда игрок A оценивает ситуацию, в которой он выбирает стратегию, как опасную, то коэффициенты должны быть выбраны, как отмечалось выше, так, чтобы показатель пессимизма был больше показателя оптимизма . Это может быть достигнуто, например, выбором невозрастающей последовательности коэффициентов — в частности, по принципу невозрастания средних выигрышей, т.е. обратно пропорциональных средним выигрышам (3.4) (см. (3.6)):

(см. [7], а также [6, 10]). В этом случае можнодоказать (см. [7], а также [6, 10]), что

, (3.7)

где b_n-j+1 и b определяются соответственно по формулам (3.3) и(3.5).

Если же игрок A при выборе стратегии преисполнен оптимизма был больше показателя оптимизма, то показатель оптимизма должен быть больше показателя пессимизма , что может быть реализовано выбором неубывающей последовательности коэффициентов — например, по принципу неубывания средних выигрышей (см. [7], а также [6, 10]), т. е. прямо пропорционально средним выигрышам (3.4):

В этом случае (см. [7], а также [6, 10])справедлива формула

,

где b_j и b определяютсясоответственно по формулам (3.3) и (3.5).

Поиск по сайту: