Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в неантагонистических (бескоалиционных) играх. Функции выигрышей игроков. Доминирование стратегий

Игрой в нормальной (стратегической) форме называется набор объектов вида

– обозначение игры, – множество игроков, – множество чистых стратегий игрока , – функция выигрыша игрока , принимающая вещественные значения.

Значение функции выигрыша представляет собой выигрыш, который получает игрок , если игроками используются стратегии , .

Игроки одновременно и независимо друг от друга (не имея информации о действиях других игроков) выбирают свои стратегии из множества всех своих возможных стратегий . В результате формируется набор стратегий

, называемый в теории игр ситуацией. - декартово произведение множеств . При этом само множество именуют множеством всех ситуаций в данной игре.

После выбора стратегий игроками игра прекращается, и каждый игрок получает выигрыш, который вычисляется как значение его функции выигрыша в этой ситуации , т.е. величину .

Смешанной стратегией игрока будем считать полный набор вероятностей применения этим игроком своих чистых стратегий , – количество стратегий у игрока .

Пример 8.1. Аукцион неделимого товара [Мулен, 1985].

На аукцион выставлен товар по начальной цене c. Участники аукциона - игроки. каждый участник - , и , где – множество всех участников аукциона. Ценность товара для каждого участника оценивается величиной .

Будем предполагать, что

Участники независимо друг от друга назначают цену (аукцион закрытого типа). Цена является стратегией участника . Победителем является тот участник, который назначает максимальную цену (аукцион на повышении). Рассмотрим два типа аукционов. Отличие двух аукционов заключается в том, какой выигрыш должен получить победитель.

Аукцион первой цены. Множество стратегий каждого участника есть . Пусть в ходе аукциона реализовалась ситуация . Обозначим множество игроков, назначивших максимальную цену, через

Функцию выигрыша i -го участника аукциона определим следующим образом:

Таким образом, мы получили игру в нормальной форме , которая и представляет собой модель аукциона закрытого типа на повышение первой цены.

Аукцион второй цены. В аукционе второго типа (аукцион Викри) победителем также считается участник, предложивший наибольшую цену, однако он должен уплатить вторую по величине цену. В этом случае получаем следующую игру.

Множество стратегий каждого участника есть . Пусть в ходе аукциона реализовалась ситуация . Введём обозначение

Тогда функция выигрыша участника может быть записана в виде

Снова получена игра в нормальной форме, но это уже иная игра, отличающаяся от предыдущей функциями выигрыша игроков.

Говорят, что стратегия игрока в игре доминирует стратегию этого игрока, если для всех выполнено неравенство

И хотя бы для одного справедливо строгое неравенство

Одна стратегия игрока доминирует другую стратегию этого же игрока, если при использовании игроком этой стратегии его выигрыш не меньше, чем при использовании другой стратегии независимо от стратегий других игроков, при этом найдутся такие стратегии других игроков, что этот выигрыш окажется строго больше.

Стратегии и игрока эквивалентны, если для всех выполнено равенство

Стратегия игрока в игре является недоминируемой стратегией этого игрока, если не существует такой стратегии игрока , которая доминирует . В противном случае стратегия называется доминируемой.

Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях и смешанных стратегиях. Логико-эвристический подход к нахождению равновесных по Нэшу ситуаций. Определение лучших ответов игрока на действия противника на основе функции выигрыша.

Принцип равновесия Нэша

Этот принцип определяет в качестве оптимальных такие ситуации, для которых любые индивидуальные отклонения игроков от входящих в эту ситуацию стратегий, не могут увеличить выигрыша отклонившегося игрока при условии, что все остальные игроки придерживаются зафиксированных в этой ситуации стратегий.

Определение 8.5. Ситуация

в игре называется равновесием по Нэшу, если для каждого игрока и любой стратегии этого игрока выполняется неравенство

или

В смешанных стратегиях равновесие Нэша определяется аналогично:

Из определения 8.3 следует, что если стратегия игрока входит в ситуацию равновесия, то на ней достигает максимума его функция выигрыша, при условии, что остальные игроки придерживаются стратегий, входящих в ситуацию равновесия.

Рассмотрим игру в нормальной форме. Обозначим через – множество наилучших ответов игрока на поведение других игроков :

Множество наилучших ответов игрока содержит все стратегии этого игрока, на которых достигается максимум его функции выигрыша, при условии, что ему известны выбранные стратегии других игроков.

Аналогично определяется множество лучших ответов в смешанных стратегиях:

Поиск по сайту: